含参数的不等式恒成立问题的处理策略
含参数的不等式恒成立问题的处理策略 耒阳一中 付运平 含参数的不等式恒成立求参数的取值范围的实质是已知不等的解集求参数的取值范围。学生遇到这类问题,较难找到解题的切入点和突破口,下面介绍解决这类问题的策略和方法。 一、分别变量法 对于一些含参数的不等式恒成立问题,假如能够将不等式进行同解变形,将不等式中的变量和参数进行剥离,即使变量和参数分别位于不等式的左、右两边,然后通过求函数的值域的方法将问题化归为解关于参数的不等式的问题。 例1.不等式-2cos2x+4sinx-k2+k g(k) g(k) 0(0 0在[0,1]上恒成立,求实数a的取值范围。 解:令f(x) = (x-1) log32 a -6xlog3 a+x+1 即f(x) =x ( log32 a -6log3 a+1)+1- log32 a f(x) >0在[0,1]上恒成立 f(0) > 0 即 1-log32 a > 0 f(1) > 0 2-log32 a > 0 解之得:-1 0恒成立 当x∈[2,+∞] 时loga x > 1 或loga x > -1 若x∈[2,+∞] loga x > 1恒成立 ∵loga x > 1 x∈[2,+∞] ∴a > 1 从而y = loga x在[2,+∞]上单调增加 x∈[2,+∞] loga x > 1 log a2 > 1解得a -1 x∈[2,+∞] ∴0 0 x∈R ∴ △=(6-2m) 2 – 8(3-m) 0 △< 0 f(x)=ax2+bx+c恒负 a < 0 △< 0 七、利用基本不等式 基本不等式可用来帮助我们求解含参数的不等式恒成立的问题。 例7.设n是自然数对随意的x, y, z恒有(x2+y2+z2)2≤n(x4+y4+z4)4,