含参数的不等式恒成立问题的处理策略

含参数的不等式恒成立问题的处理策略 耒阳一中 付运平 含参数的不等式恒成立求参数的取值范围的实质是已知不等的解集求参数的取值范围。学生遇到这类问题，较难找到解题的切入点和突破口，下面介绍解决这类问题的策略和方法。 一、分别变量法 对于一些含参数的不等式恒成立问题，假如能够将不等式进行同解变形，将不等式中的变量和参数进行剥离，即使变量和参数分别位于不等式的左、右两边，然后通过求函数的值域的方法将问题化归为解关于参数的不等式的问题。 例1．不等式-2cos2x4sinx-k2k0对一切实数x恒成立，求参数k的取值范围。 解所给不等式可化为（2 sinx1）2 k2-k3 （2 sinx1）2max k2-k3 而（2 sinx1）2max9 ∴k2-k39 解之得k 3或k -2 故k的取值范围是（-∞，-2）∪（3，∞）。 一般地分别变量后有下列几种情形 ①fx≥gk [fx]min≥gk ②fx gk gk [fx] min ③fx≤gk [fx] max≤gk ④fx≤gk [fx] max gk 二、数形结合 对于含参数的不等式恒成立问题，当不等式两边的函数图象形态明显，我们可以作出它们的图象，利用图象直观和运动改变的观点进行转化，化归为某一极端情形如端点、相切等，从而得到关于参数K的不等式。 例2 假如不等式 x-5 ≠kx2在[s，∞]内恒成立求参数K的取值范围 解令fx x-5 , gk kx2（x≥5）；fx的图象是抛物线y2x-5位于x轴上方的部分，gk的图象则是斜率为k在y轴上的截距为2的动直线 过A（0，2）作y2x-5的切线，令它的方程为ykx2，明显k≠0 由 y2x-5 清去y得 k2x（4k-1）90 ykx2 由△-20k2-8k10解得k 1 ，k 1 10 2 y 1 x2切抛物线y2（x-5）于上半部y- 1 x2 10 2 切抛物线y2x-5于下半部，故y 1 x2与y x5 相 10 切，又KBA- 2 ，其中A0，2 B5，0，令y 1 x切 5 10 y x-5 于C，x-5 ≠kx2 在[5，∞）内恒成立。 （二）y fx与y gx的图象无 交点,如图知当过A的直线在∠BAC 的外部时它们没有交点 故当k 1 或K- 2 时,不等 10 5 式 x-5≠kx2，在[5，∞内恒成立。 三、利用函数的单调性 当不等式两边的函数在使不等式恒成立的区间内具有不同的单调性时，我们可以利用这一特点将问题化归为极端情形，从而将一般问题作特别化处理。 例3．不等式x2-loga x0在（0， 1 ）内恒成立，求参 2 数a的取值范围。 解x2-logax0可化为x2logmx ∴logax x2 0（0， 1 ） ∴0 a 1 2 而y logax在（0， 1 ）单调下降，yx2在（0， 1 ） 2 2 内单调上升 ∴x2logax在（0， 1 ）内恒成立 1 2≤loga 1 2 2 2 即a ≥ 1 ∴m≥ 1 故m的取值范围是[ 1 ,1 2 16 16 四、简价化归 化归是一种重要的思想方法，含参数的不等式恒成立问题也可用一个与之等价的命题来代替它，从而实现化归。 例4．若不等式（x-1）log32 a-6xlog3 ax1 0在[0，1]上恒成立，求实数a的取值范围。 解令fx x-1 log32 a -6xlog3 ax1 即fx x log32 a -6log3 a11- log32 a fx 0在[0，1]上恒成立 f0 0 即 1-log32 a 0 f1 0 2-log32 a 0 解之得-1 log32 a 1 ∴ 1 a 3 3 3 3 故a的取值范围是（ 1 , 3 3 3 五、分类探讨法 当不等式中左、右两边的函数具有某些不确定因素时，应用分类探讨的方法来处理，分类探讨可使原问题中的不确定因素变成确定因素，为问题的解决供应新的条件。 例5．已知x∈[2，∞]时不等式| loga x | 0恒成立，求实数a的取值范围。 解当x∈[2，∞]时| loga x | 0恒成立 当x∈[2，∞] 时loga x 1 或loga x -1 若x∈[2，∞] loga x 1恒成立 ∵loga x 1 x∈[2，∞] ∴a 1 从而y loga x在[2，∞]上单调增加 x∈[2，∞] loga x 1 log a2 1解得a 2 ∴1 a 2 若x∈[2，∞] loga x -1恒成立 ∵loga x -1 x∈[2，∞] ∴0 a 1 从而y loga x在[2，∞]单调下降 ∴x∈[2，∞] loga x -1 loga 2 -1 解得a 1 2 ∴ 1 a 1 2 综上所述，a的取值范围是（1，2）∪（ 1 , 1） 2 六、利用判别式 可化为一元二次不等式在实数集上恒成立的问题，可用判别式来求解。 例6．不等式 2x22mxm 1，对一切x均成立，求 4x26x3 实数m的取值范围。 解∵4x26x3 2x 3 2 3 0在R上恒成立 2 4 ∴ 2x22mxm 1 2x22mxm 4x26x3 4x26x3 2x26-2mx3-m0 x∈R ∴ △6-2m 2 – 83-m 0 解之得1 m 3 故实数m的取值范围是1, 3 一般地fxax2bxc恒正 a 0 △ 0 fxax2bxc恒负 a 0 △ 0 七、利用基本不等式 基本不等式可用来帮助我们求解含参数的不等式恒成立的问题。 例7．设n是自然数对随意的x, y, z恒有（x2y2z2）2≤nx4y4z44，