含参数的一元二次不等式的解法
含参数的一元二次不等式的解法 基础学问: 1.一元二次不等式的形式:与 (a≠0) 2. 只考虑的情形。当a<0时,将不等式两边乘-1就化成 了“a>0”。 3.一元二次不等式、一元二次方程和二次函数的联系:从函数的观点来考虑。 设二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)的图象是抛物线L,则不等式ax2+bx+c>0,ax2+bx+c<0的解集分别是抛物线L在x轴上方,在x轴下方的点的横坐标x的集合;二次方程ax2+bx+c=0的根就是抛物线L与x轴的公共点的横坐标。 二次函数 的根 的解集 的解集 的解集 的解集 4.二次不等式、二次方程和二次函数的联系,通常称为“三个二次问题”,我们要深刻理解、牢牢驾驭,并敏捷地应用它。它是函数与方程思想的应用范例。应用这“三个二次”的关系,不但能干脆得到“二次不等式的解集表”,而且还能解决“二次问题”的难题。 5.一元二次不等式的解法步骤。 1)化为一般式ax2+bx+c>0 (a>0)或ax2+bx+c<0 (a>0)。这步可简记为“使a>0”。 2).计算△=b2-4ac,判别与求根:解对应的二次方程ax2+bx+c=0,判别根的三种状况,△≥0时求出根。 3).写出解集:用区间或用大括号表示解集。 留意:1.解题策略:使a值为正,求得两根,“>”则两根之外;“<”则两根之内。 2.不要死记书上的解集表,要抓住对应的二次方程的“根”来活记活用。 二次不等式的解集求法可用数轴标根。 △0 + + - △≥0 留意:正反思维:不等式的解集区间端点值就是不等式相应方程的根; 学问应用 :一、不含参数的一元二次不等式的解法 二、关于含参数(单参)的一元二次不等式的解法 (一).二次项系数为常数 1.解关于x的不等式:x2-(m+2)x+2m<0。 2.解关于的不等式: (二).二次项系数含参数 3. 解关于x的不等式:mx2-(m+1)x+1<0。 4.解关于的不等式: 5.解关于的不等式: 练习 解不等式:mx 2-2x+1>0. 三.正反思维:已知一元二次不等式解集,求参数问题 思索1:能否写出一个解集为(-2,1)的一元二次不等式?这样的不等式有几个? 思索2:若不等式2x2-ax+b>0的解集为(-∞,-1)∪(3,+∞),求a、b值。 例.已知不等式的解集为,则不等式的解集为 . 变式:1若不等式ax 2+5x+b>0的解集为{x|<x<},则a、b的值分别是__________. 2.已知的解集为,则不等式的解集是 . 四.一元二次不等式解集为R或问题 7.不等式(a2-1)x2-(a-1)x-1 <0的解集为R,求a的取值范围。 8.k为何值时,关于x的不等式(k+1)x2-2x+(k+1)>0的解集为? 探究训练: 1.已知不等式 (1)若对于全部实数x不等式恒成立,求m的取值范围? (2)若对于不等式恒成立,求实数x的取值范围? 2..已知, (1)假如对一切,恒成立,求实数的取值范围; (2)假如对,恒成立,求实数的取值范围. 3.已知二次函数的图象过点,问是否存在常数,使不等式对一切都成立? 4.已知不等式kx2-2x+6k<0 (1)若不等式的解集是{x|x-2},求k的值;(2)若不等式的解集是全体实数集R,求k的值 5.已知不等式①;②;③,要使同时满意①②的也满意③,则的取值范围是_____________. 6.已知不等式的解集是,对于有以下结论:①;②;③;④;⑤.其中正确的有__________________. 7.若0≤x2+ax+5≤4有且只有一解,则实数a的值为 . 8.在R上定义运算若不等式对随意实数成立,求a的取值范围 4