向量知识点归纳
向量学问点归纳. 向量学问点的归纳 一、学问梳理: (1)本章要点梳理: 1、向量加法的几何意义:起点相同时适用平行四边形法则(对角线),首尾相接适用“蛇形法则”,特殊留意:表示△ABC的边BC的中线向量。向量减法的几何意义:起点相同适用三角形法则,(终点连结而成的向量,指向被减向量),表示A、B两点间的距离;以、为邻边的平行四边形的两条对角线分别表示向量+、(或)。 ———————————————————————————————————————— 2、理解单位向量、平行向量、垂直向量的意义。 及非零向量同向的单位向量,叫做的单位向量。而都及共线(及反向的单位向量为-)。 —————————————————————————————————————— 3、两向量所成的角指的是两向量方向所成的角;两向量数量积;其中可视为向量在向量上的投影。 4、向量运算中特殊留意的应用。探讨向量的模经常先转化为模平方再进行向量运算。另外,有关向量的运算也可以利用数形结合的方法来求解,有些题目就可以由作图得解。 5、向量的坐标运算是高考中的热点内容,向量的坐标形式实质上是其分解形式的“简记”。其中分别表示及轴、轴正方向同向的单位向量。 6、利用向量求角时,要留意范围。两向量所成角的范围是。特殊留意:不能等同于所成角是锐角,因为当同向时也满意;同样的道理,不能等同于所成角是钝角,因为当反向时也满意。 [例]是过抛物线焦点的直线,它及抛物线交于A、B两点,O是坐标原点,则△ABO是( )A、锐角三角形; B、直角三角形; C、钝角三角形; D、不确定及P值有关. 分析:由直线过焦点,设其方程为,联立得:,即:,则,又=.则,则肯定是钝角.选C. 7.直线l的向量参数方程式:A、P、B三点共线 则 8.关注向量运算及三角函数综合是高考中的常见题型. [例]已知向量.设. (1)若且,求的值;(2)若函数的图像按向量平移后得到函数的图像,求实数的值. 解析:(1), 易得.(2)函数是由函数的图像向左平移,再把所得图像向上平移1个单位而得,所以. 二、易错、易混、易忘点梳理: 【易错点1】涉及向量的有关概念、运算律的理解及应用,易产生概念性错误。 例1.下列命题:①②③|·|=||·||④若∥∥则∥⑤∥,则存在唯一实数λ,使⑥若,且≠,则⑦设是平面内两向量,则对于平面内任何一向量,都存在唯一一组实数x、y,使成立。⑧若|+|=|-|则·=0。⑨·=0,则=或=。其中真命题的个数为( ) A.1B.2C.3D.3个以上 解析:①正确。依据向量模的计算推断。②错误,向量的数量积的运算不满意交换律,这是因为依据数量积和数乘的定义表示和向量共线的向量,同理表示和向量共线的向量,明显向量和向量不肯定是共线向量,故不肯定成立。③错误。应为④错误。留意零向量和随意向量平行,非零向量的平行性才具有传递性。⑤错误。应加条件“非零向量”。⑥错误。向量不满意消去律。依据数量的几何意义,只需向量和向量在向量方向的投影相等即可,作图易知满意条件的向量有多数多个。⑦错误。留意平面对量的基本定理的前提有向量是不共线的向量即一组基底。⑧正确。条件表示以两向量为邻边的平行四边形的对角线相等,即四边形为矩形。故·=0。⑨错误。只需两向量垂直即可。 答案:B 【学问点归类点拔】在利用向量的有关概念及运算律推断或解题时,肯定要明确概念或定理成立的前提条件和依据向量的运算律解答,要明确向量的运算和实数的运算的相同和不同之处。一般地已知a,b,с和实数λ,则向量的数量积满意下列运算律:①a·b=b·a (交换律)②(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb) (数乘结合律)③(a+b)·с=a·с+b·с (安排律)说明:(1)一般地,(a·b)с≠a(b·с)(2)有如下常用性质:a2=|a|2,(a+b)(с+d)=a·с+a·d+b·с+b·d,(a+b)2=a2+2a·b+b2 【练习】设a、b、c是随意的非零平面对量,且相互不共线,则①(a·b)c-(c·a)b=0 ②|a|-|b|<|a-b| ③(b·c)a-(c·a)b不及c垂直④(3a+2b)(3a-2b)=9|a|2-4|b|2中,是真命题的有( )A.①②B.②③C.③④D.②④ 答案: D 【易错点2】利用向量的加法、减法、数量积等运算的几何意义解题时,数形结合的意识不够,忽视隐含条件。 例2.四边形ABCD中,=a,=b,=с,=d,且a·b=b·с=с·d=d·a,试问四边形ABCD是什么图形? 【易错点分析】四边形的形态由边角关系确定,关键是由题设条件演化、推算该四边形的边角量,易忽视如下两点:(1)在四边形中,,,,是顺次首尾相接向量,则其和向量是零向量,即a+b+с+d=0,应留意这一隐含条件应用;(2)由已知条件产生数量积的关键是构造数量积,因为数量积的定义式中含有边、角两种关系。 解:四边形ABCD是矩形,这是因为一方面:由a+b+с+d=0得a+b=-(с+d),即(a+b)2=(с+d)2即|a|2+2a·b+|b|2=|с|2+2с·d+|d|2由于a·b=с·d,∴|a|2+|b|2=|с|2+|d|2①同理有|a|2+|d|2=|с|2+|b|2②由①②可得|a|=|с|,且|b|=|d|即四边形ABCD两组对边分别相等∴四边形ABCD是平行四边形.另一方面,由a·b=b·с,有b(a-с)=0,而由平行四边形ABCD可得a=-с,代入上式得b·(2a)=0即a·b=0,∴a⊥b也即AB⊥BC。综上所述,四边形ABCD是矩形. 【学问点归类点拔】向量是高考的一个亮点,因为向量学问,向量观点在数学、物理等学科的很多分支有着广泛的应用,而它具有代数形式和几何形式的“双重身份”能融数形于一体,能及中学数学教学内容的很多主干学问综合,形成学问交汇点,所以高考中应引起足够的重视。基于这一点解决向量有关问题时要树立起数形结合,以形助数的解题思路。例如很多重要结论都可用这种思想直观得到:(1)向量形式的平行四边形定理:2(||+||)=|-|+|+|(2)向量形式的三角形不等式:|||-|||≤|±|≤||+||(试问:取等号的条件是什么?)等有用的结论。 【练习】(1)点O是所在平面内的一点,满意,则点O是的() (A)三个内角的角平分线的交点 (B)三条边的垂直平分线的交点 (C)三条中线的交点(D)三条高的交点 (2)的外接圆的圆心为O,两条边上的高的交点为H,,则实数m = 答案: (1)D (2)m=1 【易错点3】忽视向量积定义中对两向量夹角的定义。 例3.已知中,,求. (答案:-20) 【学问点归类点拔】中学阶段涉及角的概念不少,在学习过程中要明确它们的概念及取值范围,如直线的倾斜角的取值范围是,两向量的夹角的范围是,留意向量的夹角是否为三角形内角。 【易错点4】向量数积性质的应用。 例4.已知a、b都是非零向量,且a + 3b及7a- 5b垂直,a