向量知识点归纳

向量学问点归纳. 向量学问点的归纳 一、学问梳理 （1）本章要点梳理 1、向量加法的几何意义起点相同时适用平行四边形法则（对角线），首尾相接适用“蛇形法则”，特殊留意表示△ABC的边BC的中线向量。向量减法的几何意义起点相同适用三角形法则，（终点连结而成的向量，指向被减向量），表示A、B两点间的距离；以、为邻边的平行四边形的两条对角线分别表示向量、（或）。 2、理解单位向量、平行向量、垂直向量的意义。 及非零向量同向的单位向量，叫做的单位向量。而都及共线（及反向的单位向量为-）。 3、两向量所成的角指的是两向量方向所成的角；两向量数量积；其中可视为向量在向量上的投影。 4、向量运算中特殊留意的应用。探讨向量的模经常先转化为模平方再进行向量运算。另外，有关向量的运算也可以利用数形结合的方法来求解，有些题目就可以由作图得解。 5、向量的坐标运算是高考中的热点内容，向量的坐标形式实质上是其分解形式的“简记”。其中分别表示及轴、轴正方向同向的单位向量。 6、利用向量求角时，要留意范围。两向量所成角的范围是。特殊留意不能等同于所成角是锐角，因为当同向时也满意；同样的道理，不能等同于所成角是钝角，因为当反向时也满意。 ［例］是过抛物线焦点的直线，它及抛物线交于A、B两点，O是坐标原点，则△ABO是（ ）A、锐角三角形； B、直角三角形； C、钝角三角形； D、不确定及P值有关. 分析由直线过焦点，设其方程为，联立得，即，则，又.则，则肯定是钝角.选C. 7.直线l的向量参数方程式A、P、B三点共线 则 8.关注向量运算及三角函数综合是高考中的常见题型. ［例］已知向量.设. （1）若且，求的值；（2）若函数的图像按向量平移后得到函数的图像，求实数的值. 解析（1）， 易得.（2）函数是由函数的图像向左平移，再把所得图像向上平移1个单位而得，所以. 二、易错、易混、易忘点梳理 【易错点1】涉及向量的有关概念、运算律的理解及应用，易产生概念性错误。 例1.下列命题①②③||||||④若∥∥则∥⑤∥，则存在唯一实数λ，使⑥若，且≠，则⑦设是平面内两向量，则对于平面内任何一向量，都存在唯一一组实数x、y，使成立。⑧若|||－|则0。⑨0，则或。其中真命题的个数为（ ） A．1B．2C．3D．3个以上 解析①正确。依据向量模的计算推断。②错误，向量的数量积的运算不满意交换律,这是因为依据数量积和数乘的定义表示和向量共线的向量，同理表示和向量共线的向量，明显向量和向量不肯定是共线向量，故不肯定成立。③错误。应为④错误。留意零向量和随意向量平行,非零向量的平行性才具有传递性。⑤错误。应加条件“非零向量”。⑥错误。向量不满意消去律。依据数量的几何意义，只需向量和向量在向量方向的投影相等即可，作图易知满意条件的向量有多数多个。⑦错误。留意平面对量的基本定理的前提有向量是不共线的向量即一组基底。⑧正确。条件表示以两向量为邻边的平行四边形的对角线相等，即四边形为矩形。故0。⑨错误。只需两向量垂直即可。 答案B 【学问点归类点拔】在利用向量的有关概念及运算律推断或解题时，肯定要明确概念或定理成立的前提条件和依据向量的运算律解答，要明确向量的运算和实数的运算的相同和不同之处。一般地已知ａ，ｂ，с和实数λ，则向量的数量积满意下列运算律①ａｂ＝ｂａ 交换律②（λａ）ｂ＝λ（ａｂ）＝ａ（λｂ） 数乘结合律③ａ＋ｂс＝ａс＋ｂс 安排律说明（1）一般地，ａｂс≠ａ（ｂс）（2）有如下常用性质ａ２＝｜ａ｜２，（ａ＋ｂ）（с＋ｄ）＝ａс＋ａｄ＋ｂс＋ｂｄ，ａ＋ｂ２＝ａ２＋２ａｂ＋ｂ２ 【练习】设a、b、c是随意的非零平面对量,且相互不共线,则①（ab）c－（ca）b0 ②|a|－|b||a－b| ③（bc）a－（ca）b不及c垂直④（3a2b）（3a－2b）9|a|2－4|b|2中，是真命题的有（ ）A.①②B.②③C.③④D.②④ 答案 D 【易错点2】利用向量的加法、减法、数量积等运算的几何意义解题时，数形结合的意识不够，忽视隐含条件。 例2.四边形ABCD中，＝ａ，＝ｂ，＝с，＝ｄ，且ａｂ＝ｂс＝сｄ＝ｄａ，试问四边形ABCD是什么图形 【易错点分析】四边形的形态由边角关系确定，关键是由题设条件演化、推算该四边形的边角量，易忽视如下两点（1）在四边形中，，，，是顺次首尾相接向量，则其和向量是零向量，即ａ＋ｂ＋с＋ｄ＝0，应留意这一隐含条件应用；2由已知条件产生数量积的关键是构造数量积，因为数量积的定义式中含有边、角两种关系。 解四边形ABCD是矩形，这是因为一方面由ａ＋ｂ＋с＋ｄ＝0得ａ＋ｂ＝－（с＋ｄ），即ａ＋ｂ２＝（с＋ｄ）2即｜ａ｜２＋２ａｂ＋｜ｂ｜２＝｜с｜２＋２сｄ＋｜ｄ｜２由于ａｂ＝сｄ，∴｜ａ｜２＋｜ｂ｜２＝｜с｜２＋｜ｄ｜２①同理有｜ａ｜２＋｜ｄ｜２＝｜с｜２＋｜ｂ｜２②由①②可得｜ａ｜＝｜с｜，且｜ｂ｜＝｜ｄ｜即四边形ABCD两组对边分别相等∴四边形ABCD是平行四边形.另一方面，由ａｂ＝ｂс，有ｂ（ａ－с）＝０，而由平行四边形ABCD可得ａ＝－с，代入上式得ｂ2ａ＝０即ａｂ＝０，∴ａ⊥ｂ也即AB⊥BC。综上所述，四边形ABCD是矩形. 【学问点归类点拔】向量是高考的一个亮点，因为向量学问，向量观点在数学、物理等学科的很多分支有着广泛的应用，而它具有代数形式和几何形式的“双重身份”能融数形于一体，能及中学数学教学内容的很多主干学问综合，形成学问交汇点，所以高考中应引起足够的重视。基于这一点解决向量有关问题时要树立起数形结合，以形助数的解题思路。例如很多重要结论都可用这种思想直观得到（1）向量形式的平行四边形定理2（｜｜｜｜）｜－｜｜｜（2）向量形式的三角形不等式｜｜｜-｜｜｜≤｜｜≤｜｜｜｜试问取等号的条件是什么等有用的结论。 【练习】（1）点O是所在平面内的一点，满意，则点O是的（） （A）三个内角的角平分线的交点 （B）三条边的垂直平分线的交点 （C）三条中线的交点（D）三条高的交点 （2）的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，，则实数m 答案 （1）D （2）m1 【易错点3】忽视向量积定义中对两向量夹角的定义。 例3.已知中,,求. 答案-20 【学问点归类点拔】中学阶段涉及角的概念不少,在学习过程中要明确它们的概念及取值范围,如直线的倾斜角的取值范围是，两向量的夹角的范围是，留意向量的夹角是否为三角形内角。 【易错点4】向量数积性质的应用。 例4.已知a、b都是非零向量，且a 3b及7a- 5b垂直，a