向量在中学数学中的应用 1、向量与图形 运用向量解决、探讨图形问题,一般状况下,有两种途径:一是选择适当的基底,其它有向线段用基底线性表示,然后通过向量的运算求解;二是建立适当的坐标系,运用向量或点的坐标运算求解。原委用哪一种方法,可视详细问题而定。下面举例说明之。 例1 已知P、Q过△OAB的重心G,OP:OA=m,OQ:OB=n, 求证: +=3。 分析 这是涉与到比例的问题,运用向量的加法、数乘运算即可。 图7-23中有众多的线段,不妨以不共线的向量、为基底,其它有向线段用基底线性表示。 设 =a,=b, 则 =( a+b), =( a+b),=m,=n。 =-=(-m) a+b, =-= nb –ma。 ∵P、Q、G共线, ∴存在λ,使=λ, 即(-m) a+b=λ(nb –ma)。 整理,得(-m+λm)a +(–λn)b=0, 于是,-m+λm=0, –λn=0, 消去λ,得+=3。 例2 已知△ABC中,AM:AB=1:3,AN:AC=1:4,,BN与CN 交于点E,AB=m,AC=n, ∠BAC=60°,求AE之长. 解 问题涉与到比例,长度与距离,因此必需运用向量的三种运算求解。 选择 =a, =b 为基底,则= a-b, =a-b。 因N、E、B共线, C、E、M共线,故存在实数λ,μ,使 =λ=λ(a-b), =μ=μ(a-b)。 ∵++=0 , ∴b +μ(a-b)- λ( a-b)=0 , (-μ+λ)b + (μ-λ)a=0 。 ∵a,b不共线, ∴{解得λ=,μ= 。 ∴=+=b +(a-b)= a+ b ||==。 例3 在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别是BB1、CD中点,求证:平面AED⊥平面A1FD1。 证 欲证明两个平面垂直,只须证明这两个平面的法向量相互垂直即可。 由于ABCD- A1B1C1D1是个正方体,故可建立坐标系,应用向量坐标的运算来解决。 以A为原点,分别以、、所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(如图7-25),则D(0,1,0)、E(1, 0,) 、F(,1,0) 、A1(0,0,1)、D1(0,0,1),于是=(0,1,0), =(1, 0,), =(0,1,0), =(,1,0) 。 设平面ADE的法向量为n1=(x,y,z),而、在平面ADE内,所以有n1⊥, n1⊥, 求得y=0,x=-z, 所以平面ADE的一个法向量为 n1= (-,0,1) 。 同理,求得平面A1F1D1的一个法向量n2= (—1, 0,—) 。 ∵n1 . n2=0, ∴n1⊥ n2。 平面ADE⊥平面AFD1。 例4 在正四面体ABCD中,E、M分别是AB,AC的中点,N为面BDC的中心(图7-26),求DE,MN之间的夹角。 解 令=a, =b, =c,则=(a+b), =++ =—(b+c) +c+(a—c) =-b+ c+ ∵||=||= , .=(-b+ c+a).( a+b)= , ∴cos==。 从上述例子可以看出,运用向量求直线与直线,直线与平面或两个平面的夹角,基本途径相同,找寻能表示两个元素方向的向量a、b,然后利用公式cos= 。 例5 已知正四棱锥S—ABCD两相对侧面SAD和SBC 相互垂直,求两相邻侧面SAB和SBC所成二面角的大小。(图7-27) 解 求平面夹角的问题可以转化为求平面的法向量的夹角问题。 以底面ABCD中心O为坐标原点,建立如图所示的坐标系Oxyz,Ox//AD,Oy//AB。 设底面边长为2a,高为h,则=(2a,0,0), =(-a,a,h) 设平面SAD的一个法向量为n1=(x,y,z),则由n1⊥、 n1⊥,得平面SAD的一个法向量n1=(0,-h,a) , 又 =(2a,0,0) ,=(-a,-a,h) , 同理求得平面SBC的一个法向量n2=(0,-h,-a) 。 ∵平面SAD⊥平面SBC, ∴n1⊥n2 得h2=a2,h=a。 此时n1= (0,-1,-1), n2= (0,-1,-1) 。 又∵=(0,2a, 0) ,=(-a,a, h),,同理求得平面SAB的一个法向量n3= (1,0,1), ∴cos===—。 平面SAB,SBC所成二面角的度数为120°。 从今例可以看出,用向量求二面角,可避开找寻二面角的平面角的麻烦。 向量除了用来求角度,还可以用来求各种距离,前面已举过这方面的例子,不再赘述,最终举几例在高考或高考摸拟中出现的向量综合题。 例6 如图7-28,已知矩形ABCD中,AB=1,BC=a(a>0) ,PA⊥平面ABCD (1) 问BC边上是否存在点Q,使得PQ⊥QD,并说明理由; (2) 若PA=1,且BC边上有且只有一点Q,使PQ⊥QD,求这时二面角Q—PD—A的大小 解 (1) 以A为原点,AB,AD,AP分别为x、y、z轴建立坐标系, 则B(1,0,0)、D(0,a,0)、P(0,0,c),、C(1,a,0) , 设Q(1,x,0),则 =(-1,a-x,0),=(1,x,-c) , 若Q点存在,由⊥,得 -1+(a-x)x=0, 即x2-ax+1=0 此方程的判别式△=a2-4(a>0)。 所以,当a≥0时,方程有解,Q点存在, 当0