向量在中学数学中的应用

向量在中学数学中的应用 1、向量与图形 运用向量解决、探讨图形问题，一般状况下，有两种途径一是选择适当的基底，其它有向线段用基底线性表示，然后通过向量的运算求解；二是建立适当的坐标系，运用向量或点的坐标运算求解。原委用哪一种方法，可视详细问题而定。下面举例说明之。 例1 已知P、Q过△OAB的重心G，OPOAm，OQOBn, 求证 3。 分析 这是涉与到比例的问题，运用向量的加法、数乘运算即可。 图7-23中有众多的线段，不妨以不共线的向量、为基底，其它有向线段用基底线性表示。 设 a，b， 则 ab, ab，m,n。 --m ab, - nb –ma。 ∵P、Q、G共线， ∴存在λ，使λ， 即-m abλ（nb –ma）。 整理，得-mλma （–λn）b0， 于是，-mλm0， –λn0， 消去λ，得3。 例2 已知△ABC中，AMAB13，ANAC14,，BN与CN 交于点E，ABm，ACn, ∠BAC60，求AE之长. 解 问题涉与到比例，长度与距离，因此必需运用向量的三种运算求解。 选择 a， b 为基底，则 a－b, a－b。 因N、E、B共线, C、E、M共线，故存在实数λ,μ，使 λλa-b, μμa-b。 ∵0 ， ∴b μa-b- λ a-b0 ， －μλb μ－λa0 。 ∵a,b不共线， ∴{解得λ，μ 。 ∴b a-b a b ||。 例3 在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD中点，求证平面AED⊥平面A1FD1。 证 欲证明两个平面垂直，只须证明这两个平面的法向量相互垂直即可。 由于ABCD- A1B1C1D1是个正方体，故可建立坐标系，应用向量坐标的运算来解决。 以A为原点，分别以、、所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系（如图7-25），则D0,1,0、E1, 0, 、F,1,0 、A10,0,1、D10,0,1，于是0,1,0, 1, 0,, 0,1,0, ,1,0 。 设平面ADE的法向量为n1x,y,z，而、在平面ADE内，所以有n1⊥, n1⊥， 求得y0，x-z, 所以平面ADE的一个法向量为 n1 －,0,1 。 同理，求得平面A1F1D1的一个法向量n2 1, 0, 。 ∵n1 . n20, ∴n1⊥ n2。 平面ADE⊥平面AFD1。 例4 在正四面体ABCD中，E、M分别是AB，AC的中点，N为面BDC的中心（图7-26），求DE，MN之间的夹角。 解 令a, b, c，则ab， bc cac -b c ∵|||| ， .-b ca. ab ， ∴cos,。 从上述例子可以看出，运用向量求直线与直线，直线与平面或两个平面的夹角，基本途径相同，找寻能表示两个元素方向的向量a、b，然后利用公式cosa、b 。 例5 已知正四棱锥SABCD两相对侧面SAD和SBC 相互垂直，求两相邻侧面SAB和SBC所成二面角的大小。（图7-27） 解 求平面夹角的问题可以转化为求平面的法向量的夹角问题。 以底面ABCD中心O为坐标原点，建立如图所示的坐标系Oxyz，Ox//AD，Oy//AB。 设底面边长为2a，高为h，则2a,0,0, -a,a,h 设平面SAD的一个法向量为n1x,y,z，则由n1⊥、 n1⊥，得平面SAD的一个法向量n10,-h,a , 又 2a,0,0 ,-a,-a,h ， 同理求得平面SBC的一个法向量n20,-h,-a 。 ∵平面SAD⊥平面SBC, ∴n1⊥n2 得h2a2，ha。 此时n1 0,-1,-1， n2 0,-1,-1 。 又∵0,2a, 0 ，-a,a, h，,同理求得平面SAB的一个法向量n3 1,0,1， ∴cos n2, n3。 平面SAB，SBC所成二面角的度数为120。 从今例可以看出，用向量求二面角，可避开找寻二面角的平面角的麻烦。 向量除了用来求角度，还可以用来求各种距离，前面已举过这方面的例子，不再赘述，最终举几例在高考或高考摸拟中出现的向量综合题。 例6 如图7-28，已知矩形ABCD中，AB1，BCaa0 ，PA⊥平面ABCD （1） 问BC边上是否存在点Q，使得PQ⊥QD，并说明理由； （2） 若PA1，且BC边上有且只有一点Q，使PQ⊥QD，求这时二面角QPDA的大小 解 （1） 以A为原点，AB，AD，AP分别为x、y、z轴建立坐标系， 则B1,0,0、D0,a,0、P0,0,c,、C1,a,0 ， 设Q1,x,0，则 -1,a-x,0,1,x,-c ， 若Q点存在,由⊥，得 -1（a-x）x0， 即x2-ax10 此方程的判别式△a2-4a0。 所以，当a≥0时，方程有解，Q点存在， 当0a2时，方程无解，Q点不存在。 （2） 由（1）知，当BCa2时，x1,此时Q点为BC 中点，1,-1,0,0