向量基础知识及应用
向量基础学问及应用 向量基础学问及应用 基本学问: 1. 向量加法的定义及向量加法法则(三角形法则, 平行四边形法则); 2. 向量减法的定义及向量减法法则(三角形法则, 平行四边形法则); 3. 实数及向量的积λ. 向量共线的充要条件 :向量及非零向量共线的充要条件是有且只有一个实数λ,使得=λ。 4. 向量和的数量积:·=| |·||cos,其中为和的夹角。 向量在上的投影:||cos,其中为和的夹角 ⊥·=0 5. 向量的坐标表示: ; 若向量,则 |; 若P1(,), P2(,),则 ; ||= 6. 向量的坐标运算及重要结论: 若 =(,), =(,), 则 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥+=0 ⑦ cos= (为向量的夹角) 7. 点P分有向线段所成的比的: ,或 P内分线段时,; P外分线段时,. 8. 定比分点坐标公式: ,中点坐标公式: 9. 三角形重心公式及推导(见课本例2): 三角形重心公式: 10. 图形平移:设F是坐标平面内的一个图形,将F上全部的点依据同一方向移动同样长度(即按向量平移),得到图形F`,我们把这一过程叫做图形的平移。 平移公式: 或 平移向量==(h,k) 应用: 1.利用向量的坐标运算,解决两直线的夹角,判定两直线平行, 垂直问题 例1已知向量满足条件,,求证:是正三角形 解:令O为坐标原点,可设 由,即 ② ① 两式平方和为,,由此可知的最小正角为,即及的夹角为,同理可得及的夹角为,及的夹角为,这说明三点匀整分部在一个单位圆上,所以为等腰三角形. 例2 求等腰直角三角形中两直角边上的中线所成的钝角 的度数 解:如图,分别以等腰直角三角形的两直角边为轴, 轴建立直角坐标系,设,则, 从而可求:, = 2.利用向量的坐标运算,解决有关线段的长度问题 例3已知,AD为中线,求证 证明:以B为坐标原点,以BC所在的直线为轴建立如图2直角坐标系,设,,则, . =, 从而,. 3.利用向量的坐标运算,用已知向量表示未知向量 例4已知点是 且试用 解:以O为原点,OC,OB所在的直线为轴和轴建立如图3所示的坐标系. 由OA=2,,所以,易求,设 . 例5如图, 用表示 解:以O为坐标原点,以OA所在的直线为轴,建立如图所示的直角坐标系,则, . 4.利用向量的数量积解决两直线垂直问题 例6 求证:三角形的三条高交于同一点 [分析]如图,已知中,由, 要证明利用向量法证明,只要证得即可;证明中,要充分利用好,这两个条件. 证明:在上,而 ,,即① 又,即 ② ①-②得:,即 从而,,. 5.利用向量的数量积解决有关距离的问题,距离问题包括点到点的距离,点的线的距离,点到面的距离,线到线的距离,线到面的距离,面到面的距离. 例7 求平面内两点间的距离公式 [分析]已知点求两点间的距离这时,我们就可以构造出向量,那么而, 依据向量模的公式得,从而求得平面内两点间的距离公式为. 解:设点 , ,而 点及点之间的距离为: 6.利用向量的数量积解决线及线的夹角及面及面的夹角问题. 例8 证明: [分析]如图,在单位圆上任取两点,以为始边,为终边的角分别为,设出两点的坐标,即得到的坐标,则为向量的夹角;利用向量的夹角公式,即可得证. 证明:在单位圆上任取两点,以为始边,以为终边的角分别为,则点坐标为点坐标为;则向量,它们的夹角为, ,由向量夹角公式得: ,从而得证. 注:用同样的方法可证明 7.利用向量的数量积解决有关不等式, 最值问题. 例9 证明柯西不等式 证明:令 (1) 当或时,,结论明显成立; (2) 当且时,令为的夹角,则 . 又 (当且仅当时等号成立) .(当且仅当时等号成立) 例10求的最值 解:原函数可变为,所以只须求的最值即可,构造,那么. 故. 4 / 4