向量基础知识及应用

向量基础学问及应用 向量基础学问及应用 基本学问 1. 向量加法的定义及向量加法法则（三角形法则, 平行四边形法则）； 2. 向量减法的定义及向量减法法则（三角形法则, 平行四边形法则）； 3. 实数及向量的积λ. 向量共线的充要条件 向量及非零向量共线的充要条件是有且只有一个实数λ,使得λ。 4. 向量和的数量积| |||cos，其中为和的夹角。 向量在上的投影||cos，其中为和的夹角 ⊥0 5. 向量的坐标表示 ; 若向量，则 |； 若P1（，）, P2（，），则 ; || 6. 向量的坐标运算及重要结论 若 （，）, （，）, 则 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥0 ⑦ cos （为向量的夹角） 7. 点P分有向线段所成的比的 ，或 P内分线段时,; P外分线段时,. 8. 定比分点坐标公式 ，中点坐标公式 9. 三角形重心公式及推导（见课本例2） 三角形重心公式 10. 图形平移设F是坐标平面内的一个图形，将F上全部的点依据同一方向移动同样长度即按向量平移，得到图形F，我们把这一过程叫做图形的平移。 平移公式 或 平移向量（h，k） 应用 1．利用向量的坐标运算，解决两直线的夹角，判定两直线平行, 垂直问题 例1已知向量满足条件，，求证是正三角形 解令O为坐标原点，可设 由，即 ② ① 两式平方和为，，由此可知的最小正角为，即及的夹角为，同理可得及的夹角为，及的夹角为，这说明三点匀整分部在一个单位圆上，所以为等腰三角形. 例2 求等腰直角三角形中两直角边上的中线所成的钝角 的度数 解如图，分别以等腰直角三角形的两直角边为轴, 轴建立直角坐标系，设，则， 从而可求, .. 2．利用向量的坐标运算，解决有关线段的长度问题 例3已知，AD为中线，求证 证明以B为坐标原点，以BC所在的直线为轴建立如图2直角坐标系，设，，则， . ， 从而，. 3．利用向量的坐标运算，用已知向量表示未知向量 例4已知点是 且试用 解以O为原点，OC，OB所在的直线为轴和轴建立如图3所示的坐标系. 由OA2，，所以，易求，设 . 例5如图， 用表示 解以O为坐标原点，以OA所在的直线为轴，建立如图所示的直角坐标系，则， . 4．利用向量的数量积解决两直线垂直问题 例6 求证三角形的三条高交于同一点 [分析]如图，已知中，由， 要证明利用向量法证明，只要证得即可；证明中，要充分利用好，这两个条件. 证明在上，而 ，，即① 又，即 ② ①-②得，即 从而，，. 5．利用向量的数量积解决有关距离的问题，距离问题包括点到点的距离，点的线的距离，点到面的距离，线到线的距离，线到面的距离，面到面的距离. 例7 求平面内两点间的距离公式 [分析]已知点求两点间的距离这时，我们就可以构造出向量，那么而， 依据向量模的公式得，从而求得平面内两点间的距离公式为. 解设点 ， ,而 点及点之间的距离为 6.利用向量的数量积解决线及线的夹角及面及面的夹角问题. 例8 证明 [分析]如图，在单位圆上任取两点,以为始边，为终边的角分别为，设出两点的坐标，即得到的坐标，则为向量的夹角；利用向量的夹角公式，即可得证. 证明在单位圆上任取两点，以为始边，以为终边的角分别为，则点坐标为点坐标为；则向量，它们的夹角为， ,由向量夹角公式得 ,从而得证. 注用同样的方法可证明 7.利用向量的数量积解决有关不等式, 最值问题. 例9 证明柯西不等式 证明令 （1） 当或时，，结论明显成立； （2） 当且时，令为的夹角，则 . 又 （当且仅当时等号成立） .（当且仅当时等号成立） 例10求的最值 解原函数可变为，所以只须求的最值即可，构造，那么. 故. 4 / 4