同济第六版《高等数学》教案WORD版-第03章-中值定理与导数的应用
高等数学教案 §3 中值定理与导数的应用 第三章 中值定理与导数的应用 教学目的: 1、 理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理,了解柯西中值定理和泰勒中值定理。 2、 理解函数的极值概念,驾驭用导数推断函数的单调性和求函数极值的方法,驾驭函数最大值和最小值的求法及其简洁应用。 3、 会用二阶导数推断函数图形的凹凸性,会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线,会描绘函数的图形。 4、 驾驭用洛必达法则求未定式极限的方法。 5、 知道曲率和曲率半径的概念,会计算曲率和曲率半径。 6、 知道方程近似解的二分法及切线性。 教学重点: 1、罗尔定理、拉格朗日中值定理; 2、函数的极值 ,推断函数的单调性和求函数极值的方法; 3、函数图形的凹凸性; 4、洛必达法则。 教学难点: 1、罗尔定理、拉格朗日中值定理的应用; 2、极值的推断方法; 3、图形的凹凸性及函数的图形描绘; 4、洛必达法则的敏捷运用。 §3. 1 中值定理 一、罗尔定理 费马引理 设函数f(x)在点x0的某邻域U(x0)内有定义, 并且在x0处可导, 假如对随意xÎU(x0), 有 f(x)£f(x0) (或f(x)³f(x0)), 那么f ¢(x0)=0. 罗尔定理 假如函数y=f(x)在闭区间[a, b]上连续, 在开区间(a, b)内可导, 且有f(a)=f(b), 那么在(a, b)内至少在一点x , 使得f ¢(x)=0. 简要证明: (1)假如f(x)是常函数, 则f ¢(x)º0, 定理的结论明显成立. (2)假如f(x)不是常函数, 则f(x)在(a, b)内至少有一个最大值点或最小值点, 不妨设有一最大值点xÎ(a, b). 于是 , , 所以f ¢(x)=0. 罗尔定理的几何意义: 二、拉格朗日中值定理 拉格朗日中值定理 假如函数f(x)在闭区间[a, b]上连续, 在开区间(a, b)内可导, 那么在(a, b)内至少有一点x(a