同济第六版《高等数学》教案WORD版-第03章-中值定理与导数的应用

高等数学教案 3 中值定理与导数的应用 第三章 中值定理与导数的应用 教学目的 1、 理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理，了解柯西中值定理和泰勒中值定理。 2、 理解函数的极值概念，驾驭用导数推断函数的单调性和求函数极值的方法，驾驭函数最大值和最小值的求法及其简洁应用。 3、 会用二阶导数推断函数图形的凹凸性，会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线，会描绘函数的图形。 4、 驾驭用洛必达法则求未定式极限的方法。 5、 知道曲率和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径。 6、 知道方程近似解的二分法及切线性。 教学重点 1、罗尔定理、拉格朗日中值定理； 2、函数的极值 ，推断函数的单调性和求函数极值的方法； 3、函数图形的凹凸性； 4、洛必达法则。 教学难点 1、罗尔定理、拉格朗日中值定理的应用； 2、极值的推断方法； 3、图形的凹凸性及函数的图形描绘； 4、洛必达法则的敏捷运用。 3. 1 中值定理 一、罗尔定理 费马引理 设函数fx在点x0的某邻域Ux0内有定义, 并且在x0处可导, 假如对随意xUx0, 有 fxfx0 或fxfx0, 那么f x00. 罗尔定理 假如函数yfx在闭区间[a, b]上连续, 在开区间a, b内可导, 且有fafb, 那么在a, b内至少在一点x , 使得f x0. 简要证明 1假如fx是常函数, 则f x0, 定理的结论明显成立. 2假如fx不是常函数, 则fx在a, b内至少有一个最大值点或最小值点, 不妨设有一最大值点xa, b. 于是 , , 所以f x0. 罗尔定理的几何意义 二、拉格朗日中值定理 拉格朗日中值定理 假如函数fx在闭区间[a, b]上连续, 在开区间a, b内可导, 那么在a, b内至少有一点xaxb, 使得等式 fb-faf xb-a 成立. 拉格朗日中值定理的几何意义 f x, 定理的证明 引进辅函数 令 jxfx-fa-x-a. 简洁验证函数fx适合罗尔定理的条件 jajb0, jx在闭区间[a, b] 上连续在开区间a, b内可导, 且 j xf x-. 依据罗尔定理, 可知在开区间a, b内至少有一点x, 使j x0, 即 f x-0. 由此得 f x , 即 fb-faf xb-a. 定理证毕. fb-faf xb-a叫做拉格朗日中值公式. 这个公式对于ba也成立. 拉格朗日中值公式的其它形式 设x 为区间[a, b]内一点, xDx 为这区间内的另一点Dx0或Dx0, 则在[x, xDx ] Dx0或[xDx, x ] Dx0应用拉格朗日中值公式, 得 fxDx-fxf xqDxDx 0q1. 假如记fx为y, 则上式又可写为 Dyf xqDxDx 0q1. 试与微分d yf xDx 比较 d y f xDx是函数增量Dy 的近似表达式, 而 f xqDxDx是函数增量Dy 的精确表达式. 作为拉格朗日中值定理的应用, 我们证明如下定理 定理 假如函数fx在区间I上的导数恒为零, 那么fx在区间I上是一个常数. 证 在区间I上任取两点x1, x2x1x2, 应用拉格朗日中值定理, 就得 fx2-fx1f xx2 - x1 x1x x2. 由假定, f x0, 所以fx2-fx10, 即 fx2fx1. 因为x1, x2是I上随意两点, 所以上面的等式表明 fx在I上的函数值总是相等的, 这就是说, fx在区间I上是一个常数. 例2. 证明当x0时, . 证 设fxln1x, 明显fx在区间[0, x]上满意拉格朗日中值定理的条件, 依据定理, 就有 fx-f0f xx-0, 0 xx。 由于f00, , 因此上式即为 . 又由0 xx, 有 . 三、柯西中值定理 设曲线弧C由参数方程 axb 表示, 其中x为参数. 假如曲线C上除端点外到处具有不垂直于横轴的切线, 那么在曲线C上必有一点xx , 使曲线上该点的切线平行于连结曲线端点的弦AB, 曲线C上点xx 处的切线的斜率为 , 弦AB的斜率为 . 于是 . 柯西中值定理 假如函数fx及Fx在闭区间[a, b]上连续, 在开区间a, b内可导, 且F x在a, b内的每一点处均不为零, 那么在a, b内至少有一点x , 使等式 . 成立. 明显, 假如取Fxx, 那么Fb-Fab-a, F x1, 因而柯西中值公式就可以写成 fb-faf xb-a axb, 这样就变成了拉格朗日中值公式了. 3. 3 泰勒公式 对于一些较困难的函数, 为了便于探讨, 往往希望用一些简洁的函数来近似表达. 由于用多项式表示的函数, 只要对自变量进行有限次加、减、乘三种运算, 便能求出它的函数值, 因此我们常常用多项式来近似表达函数. 在微分的应用中已经知道, 当|x|很小时, 有如下的近似等式 e x 1x, ln1x x. 这些都是用一次多项式来近似表达函数的例子. 但是这种近似表达式还存在着不足之处 首先是精确度不高, 这所产生的误差仅是关于x的高阶无穷小; 其次是用它来作近似计算时, 不能详细估算出误差大小. 因此, 对于精确度要求较高且须要估计误差时候, 就必需用高次多项式来近似表达函数, 同时给出误差公式. 设函数fx在含有x0的开