同余练习
第8讲 同 余 (补充练习) [练习1] 从1依次写到99,可以组成一个多位数123456789101112……979899。这个多位数除以11的余数是多少? 分析:⑴ 能被11整除的数的特征是:奇数位上的数字和与偶数位上的数字和相减的差(大减小)能被11整除。 n是一个自然数,n的奇数位上的数字和与偶数位上的数字和相减的差被11除余α,则自然数n被11除余α。 ⑵ 奇数位上的数字和是: (1+2+3+4+5+6+7+8+9+0)×9+1+3+5+7+9=430 偶数位上的数字和是: (1+2+3+4+5+6+7+8+9)×10+8+6+4+2=470 奇数位上的数字和与偶数位上的数字和相减的差(大减小)是:470-430=40,40÷11的余数是7,所以多位数123456789101112……979899除以11的余数是7。 [练习2] 若2836,4582,5164,6522四个自然数都被同一个自然数相除,所得余数相同且为两位数,除数和余数的和为 。 把题意用数学表达式表示:2836÷χ=……□□ 4582÷χ=……□□ 5164÷χ=……□□ 6522÷χ=……□□ 2836,4582,5164,6522对于自然数χ同余,依据同余的基本性质,他们两两相减的差必是χ的倍数,χ是差的约数。由于余数是两位数,除数比余数大,所以χ至少是两位数。 分析:⑴ 5164-4582=582;6522-5164=1358。 (582,1358)=194。 194=2×97, χ是194的约数,χ至少是两位数,χ可能是97或194。 ⑵ 检验:假如χ=194,2836÷194=14……120,余数不是两位数,与题意不符。 假如χ=97, 2836÷97=29……23, 余数是两位数,与题意相符。 ⑶ 除数是97,余数是23。 除数+余数=97+23=120 答:除数和余数的和为120。 [练习3] 算式1×3×5×7×9×11×13×15×17×19×21×23×25×27×……×2007,计算结果的末两位数字是多少? 分析:一个数的末两位,相当于除以100的余数。而100=4×25。 ⑴ 1×3×5×……×2007,这些因数都是奇数,且包含5、15、25、35…… 所以乘积必定是5×5=25的倍数,而且乘积是奇数,因此乘积的末两位只能是25或者75。 ⑵ “积的余数等于余数的积”。 1、3、5、7、……、2007这1004个奇数除以4的余数依次是1、3、1、3、…… 1×3×5×……×2007除以4的余数与1×3×1×3×1×3×……×1×3除以4的余数相同,1×3×1×3×1×3×……×1×3除以4又能分组处理, (1×3×1×3)×(1×3×1×3)×……×(1×3×1×3)共1004÷4=251组,每组除以4都余1,无论多少个1相乘都得1,所以1×3×5×……×2007除以4的余数是1。 ⑶ 检验25或者75这两个数,75除以4余3,只有25除以4余1。所以原式计算结果的末两位数字是25。 [练习4] 一个四位数是这个数的数字和的83倍,求这个四位数。 分析:⑴ 设这个四位数为,依据题意有 =(A+B+C+D)×83 -(A+B+C+D)= (A+B+C+D)×83-(A+B+C+D) 等号左边-(A+B+C+D)=999A+99B+9C,很明显等号左边是9的倍数。那么等号右边也必定是9的倍数。等号右边: (A+B+C+D)×83-(A+B+C+D) =(A+B+C+D)×82 =(A+B+C+D)×81+(A+B+C+D) =(A+B+C+D)×9×9+(A+B+C+D) 于是得出结论,(A+B+C+D)是9的倍数。 ⑵ =(A+B+C+D)×83 A+B+C+D≥=12, A+B+C+D四个数字最大是36,又是9的倍数。所以,A+B+C+D只可能等于18、27、36。 ⑶ 当A+B+C+D=18时,18×83=1494,符合题意。 当A+B+C+D=27时,27×83=2241,不符合题意。 当A+B+C+D=36时,36×83=2988,不符合题意。 只有1494=(1+4+9+4)×83,只有1494符合题目要求,所以这个四位数是1494。 答:一个四位数是这个数的数字和的83倍,这个四位数只能是1494。 其次部分:补充练习 一、什么是“同余”? 整数a、b除以整数c,得到的余数相同,我们就说整数a、b对于模c同余。 记作: a ≡b (mod c) 例如:15÷4=3……3 23÷4=5……3 15和23对于除数4同余。 记作:15 ≡23 (mod4) 可以理解为15和23除以4的余数相同。 二、“同余”的四个常用定理是什么? 同余定理(一)假如a ≡ b (mod m), 则m︱(a-b) 若两数同余,他们的差必是除数的倍数。 例如,73 ≡23 (mod 10) 则 10︱(73-23) 73与23的差是10的倍数。 同余定理(二) 假如a ≡ b (mod m), c ≡ d (mod m), 则a ± c ≡ b ± d (mod m) 两数和的余数等于余数的和。 例如,73 ≡3 (mod 10) 两数差的余数等于余数的差。 84 ≡4 (mod 10) 73+84 ≡3+4≡ 7 (mod 10) 84-73≡4-3≡1 (mod 10) 同余定理(三) 假如a ≡ b (除数m), c ≡ d (除数m), 则a × c ≡ b×d (除数m) 两数积的余数等于余数的积。 例如, 73 ≡3 (除数10) 84 ≡4 (除数10) 73×84 ≡3×4≡ 2 (除数10) 同余定理(四) 假如a ≡ b (除数m) 则an ≡ bn (除数m) 某数乘方的余