同余练习

第8讲 同 余 （补充练习） [练习1] 从1依次写到99，可以组成一个多位数123456789101112979899。这个多位数除以11的余数是多少 分析⑴ 能被11整除的数的特征是奇数位上的数字和与偶数位上的数字和相减的差（大减小）能被11整除。 n是一个自然数，n的奇数位上的数字和与偶数位上的数字和相减的差被11除余α，则自然数n被11除余α。 ⑵ 奇数位上的数字和是 （1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋0）9＋1＋3＋5＋7＋9＝430 偶数位上的数字和是 （1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9）10＋8＋6＋4＋2＝470 奇数位上的数字和与偶数位上的数字和相减的差（大减小）是470－430＝40，4011的余数是7，所以多位数123456789101112979899除以11的余数是7。 [练习2] 若2836，4582，5164，6522四个自然数都被同一个自然数相除，所得余数相同且为两位数，除数和余数的和为 。 把题意用数学表达式表示2836χ＝□□ 4582χ＝□□ 5164χ＝□□ 6522χ＝□□ 2836，4582，5164，6522对于自然数χ同余，依据同余的基本性质，他们两两相减的差必是χ的倍数，χ是差的约数。由于余数是两位数，除数比余数大，所以χ至少是两位数。 分析⑴ 5164－4582＝582；6522－5164＝1358。 （582，1358）＝194。 194＝297， χ是194的约数，χ至少是两位数，χ可能是97或194。 ⑵ 检验假如χ＝194，2836194＝14120，余数不是两位数，与题意不符。 假如χ＝97， 283697＝2923， 余数是两位数，与题意相符。 ⑶ 除数是97，余数是23。 除数＋余数＝97＋23＝120 答除数和余数的和为120。 [练习3] 算式135791113151719212325272007，计算结果的末两位数字是多少 分析一个数的末两位，相当于除以100的余数。而100＝425。 ⑴ 1352007，这些因数都是奇数，且包含5、15、25、35 所以乘积必定是55＝25的倍数，而且乘积是奇数，因此乘积的末两位只能是25或者75。 ⑵ “积的余数等于余数的积”。 1、3、5、7、、2007这1004个奇数除以4的余数依次是1、3、1、3、 1352007除以4的余数与13131313除以4的余数相同，13131313除以4又能分组处理， （1313）（1313）（1313）共10044＝251组，每组除以4都余1，无论多少个1相乘都得1，所以1352007除以4的余数是1。 ⑶ 检验25或者75这两个数，75除以4余3，只有25除以4余1。所以原式计算结果的末两位数字是25。 [练习4] 一个四位数是这个数的数字和的83倍，求这个四位数。 分析⑴ 设这个四位数为，依据题意有 ＝（A＋B＋C＋D）83 －（A＋B＋C＋D）＝ （A＋B＋C＋D）83－（A＋B＋C＋D） 等号左边－（A＋B＋C＋D）＝999A＋99B＋9C，很明显等号左边是9的倍数。那么等号右边也必定是9的倍数。等号右边 （A＋B＋C＋D）83－（A＋B＋C＋D） ＝（A＋B＋C＋D）82 ＝（A＋B＋C＋D）81＋（A＋B＋C＋D） ＝（A＋B＋C＋D）99＋（A＋B＋C＋D） 于是得出结论，（A＋B＋C＋D）是9的倍数。 ⑵ ＝（A＋B＋C＋D）83 A＋B＋C＋D≥＝12， A＋B＋C＋D四个数字最大是36，又是9的倍数。所以，A＋B＋C＋D只可能等于18、27、36。 ⑶ 当A＋B＋C＋D＝18时，1883＝1494，符合题意。 当A＋B＋C＋D＝27时，2783＝2241，不符合题意。 当A＋B＋C＋D＝36时，3683＝2988，不符合题意。 只有1494＝（1＋4＋9＋4）83，只有1494符合题目要求，所以这个四位数是1494。 答一个四位数是这个数的数字和的83倍，这个四位数只能是1494。 其次部分补充练习 一、什么是“同余” 整数a、b除以整数c，得到的余数相同，我们就说整数a、b对于模c同余。 记作 a ≡b （mod c） 例如154＝33 234＝53 15和23对于除数4同余。 记作15 ≡23 （mod4） 可以理解为15和23除以4的余数相同。 二、“同余”的四个常用定理是什么 同余定理（一）假如a ≡ b mod m， 则m︱（a－b） 若两数同余，他们的差必是除数的倍数。 例如，73 ≡23 mod 10 则 10︱（73－23） 73与23的差是10的倍数。 同余定理（二） 假如a ≡ b mod m， c ≡ d mod m, 则a c ≡ b d mod m 两数和的余数等于余数的和。 例如，73 ≡3 mod 10 两数差的余数等于余数的差。 84 ≡4 mod 10 7384 ≡34≡ 7 mod 10 84－73≡4－3≡1 mod 10 同余定理（三） 假如a ≡ b 除数m， c ≡ d 除数m, 则a c ≡ bd 除数m 两数积的余数等于余数的积。 例如， 73 ≡3 除数10 84 ≡4 除数10 7384 ≡34≡ 2 除数10 同余定理（四） 假如a ≡ b 除数m 则an ≡ bn 除数m 某数乘方的余