同余定理解法的其他情况
同余定理 分三类:口诀套用,化余为一,其他 “差同减差,和同加和,余同取余,最小公倍加”这是同余问题的口诀。 所谓同余问题,就是给出“一个数除以几个不同的数”的余数,反求这个数,称作同余问题。 首先要对这几个不同的数的最小公倍数心中有数,下面以4、5、6为例,请记住它们的最小公倍数是60。 1、差同减差:用一个数除以几个不同的数,得到的余数,与除数的差相同, 此时反求的这个数,可以选除数的最小公倍数,减去这个相同的差数,称为:“差同减差”。 例:“一个数除以4余1,除以5余2,除以6余3”,因为4-1=5-2=6-3=3,所以取-3,表示为60n-3。 【60后面的“n”请见4、,下同】 2、和同加和:用一个数除以几个不同的数,得到的余数,与除数的和相同, 此时反求的这个数,可以选除数的最小公倍数,加上这个相同的和数,称为:“和同加和”。 例:“一个数除以4余3,除以5余2,除以6余1”,因为4+3=5+2=6+1=7,所以取+7,表示为60n+7。 3、余同取余:用一个数除以几个不同的数,得到的余数相同, 此时反求的这个数,可以选除数的最小公倍数,加上这个相同的余数,称为:“余同取余”。 例:“一个数除以4余1,除以5余1,除以6余1”,因为余数都是1,所以取+1,表示为60n+1。 4、最小公倍加:所选取的数加上除数的最小公倍数的随意整数倍(即上面1、2、3中的60n)都满意条件, 称为:“最小公倍加”,也称为:“公倍数作周期”。 余数问题中的一个重要问题就是同余问题,在同余问题解决过程中,举荐代入法和口诀法两大类。其中口诀法是公倍数做周期,余同取余,和同加和,差同减差的应用,但是有时候会出现余不同,和不同并且差也不同的现象,这就须要我们采纳剩余定理进行解决。 剩余定理的原理比较繁琐,不如干脆套用解题方法进行快速解题更能解决行测中的类似问题。下面给出一些例题,对剩余定理的解题方法加以娴熟: 【例1】一个数被3除余1,被4除余2,被5除余4,这个数最小是多少? 题中3、4、5三个数两两互质。 则〔4,5〕=20﹔〔3,5〕=15﹔〔3,4〕=12﹔〔3,4,5〕=60。 为了使20被3除余1,用20×2=40﹔ 使15被4除余1,用15×3=45﹔ 使12被5除余1,用12×3=36。 然后,分别乘以他们的余数:40×1+45×2+36×4=274, 因为,274>60,所以,274-60×4=34,就是所求的数。 【例2】一个数被3除余2,被7除余4,被8除余5,这个数最小是多少? 在1000内符合这样条件的数有几个? 题中3、7、8三个数两两互质。 则〔7,8〕=56﹔〔3,8〕=24﹔〔3,7〕=21﹔〔3,7,8〕=168。 为了使56被3除余1,用56×2=112﹔ 使24被7除余1,用24×5=120﹔ 使21被8除余1,用21×5=105﹔ 然后,112×2+120×4+105×5=1229。 因为,1229>168,所以,1229-168×7=53,就是所求的数。 再用(1000-53)/168得5, 所以在1000内符合条件的数有5个。 【例3】一个数除以5余4,除以8余3,除以11余2,求满意条件的最小的自然数。 题中5、8、11三个数两两互质。 则〔8,11〕=88﹔〔5,11〕=55﹔〔5,8〕=40﹔〔5,8,11〕=440。 为了使88被5除余1,用88×2=176﹔ 使55被8除余1,用55×7=385﹔ 使40被11除余1,用40×8=320。 然后,176×4+385×3+320×2=2499, 因为,2499>440,所以,2499-440×5=299,就是所求的数。 【例4】有一个年级的同学,每9人一排多5人,每7人一排多1人,每5人一排多2人,问这个年级至少有多少人 ? 题中9、7、5三个数两两互质。 则〔7,5〕=35﹔〔9,5〕=45﹔〔9,7〕=63﹔〔9,7,5〕=315。 为了使35被9除余1,用35×8=280﹔ 使45被7除余1,用45×5=225﹔ 使63被5除余1,用63×2=126。 然后,280×5+225×1+126×2=1877, 因为,1877>315,所以,1877-315×5=302,就是所求的数。 对剩余定理问题进行干脆套用的方式是解决此类题目最快的方法,华图公务员考试探讨中心希望考生记住解题步骤,进行相关问题的解决。 来源:华图教化 剩余定理的一般状况: 一个数,除以7余3,除以8余6,除以5余2,求满意这些条件的全部三位数。 卡卡西解析: -------------------------------- 一个数除以7余3,可以把这个数字表示为7a+3,同理有5b+2 8d+6 7a+3=5b+2 7a+1=5b a=2 b=3 最小公倍数35 35c+17=8d+6 32c+8+3c+3=8d(因为32C+8 确定是8的倍数,所以不予再考虑) 3c+3=8d C=7 35*7+17=262 262+280N 一个整数除300、262、205,得到相同的余数,问这个整数是几? 分析:依据同余的性质:此三数种任何两数的差都应是除数的倍数,即除数应是此三数中任两数的差的公约数。 ---------------------------------- 解:300-262=38 262-205=57 (28,57)=19 12 +22 + 32 +……+20012+20022除以7的余数是_____。 ----------------------- 方法一: 依据公式:1^2+2^2+…+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 方法二: ÷7=0…1, ÷7=0…4, ÷7=1…2, ÷7=2…2, ÷7=3…4, ÷7=5…1, ÷7=7(余数为0), , ÷7与 ÷7余数相同,同样地, ÷7与 ÷7余数相同,…….所以,每7个连续自然数的平方之和除以7的余数为1+4+2+2+4+1除以7的余数,而(1+4+2+2+4+1)÷7=2(余数 为0),而2002÷7=286,所以原式能被7整除,即除以7的余数为0 今日星期一,1998的1986次方天后星期几? ---------------------------------- 1998的1986次=(265*7+3)1986次 =3的1986次 3^0 整除7的余数是 1 3^1 整除7的余数是 3 3^2 整除7的余数是 2 3^3 整除7的余数是 6 3^4 整除7的余数是 4 3^5 整除7的余数是 5 3^