“存在探索型”中考压轴题赏析

“存有探索型”中考压轴题赏析 存有探索型问题是指在给定条件下，判断某种数学现象是否存有、某个结论是否出现的 问题.因为这类题难度较大，对同学们的水平有更高的要求，所以它经常作为中考“压轴题” 出现，学生普遍感觉此类问题无从下手.现从2008年中考试题中精选一例解析如下，供同 学们赏析. 例（2008 年山东•济宁）ZXAB C 中，/C=90°, /A=60°,c AC=2cm.长为1cm的线段MN在Z\ABC的边AB上沿AB方 p /^>r8 向以Icm/s的速度向点B运动（运动前点M与点A重合）.过 / M, N分别作AB的垂线交直角边于P、Q两点，线段MN运动 的时间为ts. （1）若^AMP的面积为y,写出y与f的函数关系式（写出自变量，的取值范围）. （2）线段MN运动过程中，四边形MNQP有可能成为矩形吗？若有可能，求出此时， 的值；若不可能，说明理由. （3）是否存有时间使以C, P, Q为顶点的三角形与^ABC相似？若存有，求出满 足要求f的值；若不存有，说明理由. 分析：（1）题不难，只需利用“锐角三角函数的边角关系 就可解答，但要注意此题应 分“点P在AC上和点P在BC上”两种情况讨论；（2）因为PM和QN平行，且都垂直于AB, 只需当PM=QN时，四边形MNQP就为矩形，把PM和QN用含f的代数式表示，既可解决，值问 题；（3）若左。?。与AABC相似，因为它们有一个公共角匕C,则/CPQ可能等于匕A,还可 能等于ZB.故需分类讨论解答. 解：（1）当点 P 在 AC 上时， ：AM=t, ?.PM=AM • tan60° = VI t . y = —fxJJ t =（ 0 < / < 1）. -22 当点 P 在 BC 上时，PM=BM • tan30° = —(4 — Z). :.y = -tx — (4 — t) = — —t2 +^-t (1