“存在探索型”中考压轴题赏析

“存有探索型”中考压轴题赏析 存有探索型问题是指在给定条件下，判断某种数学现象是否存有、某个结论是否出现的 问题.因为这类题难度较大，对同学们的水平有更高的要求，所以它经常作为中考“压轴题” 出现，学生普遍感觉此类问题无从下手.现从2008年中考试题中精选一例解析如下，供同 学们赏析. 例（2008 年山东济宁）ZXAB C 中，/C90, /A60,c AC2cm.长为1cm的线段MN在Z\ABC的边AB上沿AB方 p /r8 向以Icm/s的速度向点B运动（运动前点M与点A重合）.过 / M, N分别作AB的垂线交直角边于P、Q两点，线段MN运动 的时间为ts. （1）若AMP的面积为y,写出y与f的函数关系式（写出自变量，的取值范围）. （2）线段MN运动过程中，四边形MNQP有可能成为矩形吗若有可能，求出此时， 的值；若不可能，说明理由. （3）是否存有时间使以C, P, Q为顶点的三角形与ABC相似若存有，求出满 足要求f的值；若不存有，说明理由. 分析（1）题不难，只需利用锐角三角函数的边角关系就可解答，但要注意此题应 分“点P在AC上和点P在BC上”两种情况讨论；（2）因为PM和QN平行，且都垂直于AB, 只需当PMQN时，四边形MNQP就为矩形，把PM和QN用含f的代数式表示，既可解决，值问 题；（3）若左。。与AABC相似，因为它们有一个公共角匕C,则/CPQ可能等于匕A,还可 能等于ZB.故需分类讨论解答. 解（1）当点 P 在 AC 上时，AMt, .PMAM tan60 VI t . y fxJJ t （ 0 / 1）. -22 当点 P 在 BC 上时，PMBM tan30 4 Z. .y -tx 4 t t2 -t 13. -2363 2 VAC2, A AB 4. /.BNABAMMN4/13/ . /J QNBN tan 30 3 0 . 由条件知，若四边形MNQP为矩形，需PMQN,即心t 2（3f.解得 | 3 当t -s时，四边形MNQP为矩形. （3）存有. 若ACPQ与AABC相似，因为它们有一个公共角/C,则ZCPQ可能等于ZA,还可 能等于/B. 3 ①当ZCPQZA 时，即 PQ〃AB.由（2）知，当 f s 时，△PQCs/\ABC. 4 ②当/CPQZB30时，AQPCAABC,此时tan30 CP3 ..CP22/. AM “o 1 cos60 , AP2AM21. AP2 BN V3 . BN cos30 , . BQ- BQ2cos30 2V3 XBC2-\/3 , *. CQ2-\/3 --（3 t） 2, t .- ,解得 7 L 332 It 32 13 ..当t -s或一s时，以C, P, Q为顶点的三角形与ZXABC相似. 点评该题目中的第（2） （3）问是一个存有性问题，这是一类常见的题型，而且也是 经常位于压轴题位置.①解决此类问题的一般思路是先假设结论的某一方面存有，然后在 这个假设下实行演绎推理，若推出矛盾，既可否定假设；若推出合理结论，则可肯定假设.② 解答这类问题，要实行分类讨论，要对每一种情形实行周密分析，不要遗漏某些情况，不要 盲目下结论. 变式练习（2008年辽宁十二市）如图，在平面直角坐标系中，IT 直线y 73 73与x轴交于点A,与y轴交于点C,抛物线\\/ y ax2 一 x c （。尹0）经过 A、B、C 三点.* （1）求过A、B、C三点抛物线的解析式并求出顶点F的坐标；1 （2）在抛物线上是否存有点P,使AABP为直角三角形，若存有，直接写出P点坐标； 若不存有，请说明理由； （3）试探索在直线AC上是否存有一点M,使得AMBF的周长最小，若存有，求出M 点的坐标；若不存有，请说明理由. 参考答案（1）抛物线的解析式为丁 争，一罕 x 一心，顶点f的坐标为（［, 4” ； 2存有，P] 0, V3、P22, a/3 ； 3存有，M , . 31277