[精品]“两角和与差的余弦”教学设计与反思
“两角和与差的余弦”教学设计与反思 “两角和与差的余弦”教学设计与反思 摘要:两角和与差的余弦是《三角恒等变换》第一节内容, 也是最重要的一节内容。它是前面三角函数知识的延续,又是推导正 弦和(差)角公式、正切和(差)角公式及倍角公式的基础。关 键词:角 余弦数学教学 一、教学内容分析 本节内容是 高一数学必修4 (苏教版)第三章《三角恒等变换》第一节的内容, 重点放在两角差的余弦公式的推导和证明上,其次是利用公式解决一 些简单的三角函数问题。在学习本章之前,已经学习了三角函 数及向量的有关知识,从而为沟通代数、几何与三角函数的联系提供 了重要的工具。本章我们将使用这些工具探讨三角函数值的运算。本 节内容不仅是推导正弦和(差)角公式、正切和(差)角公式及倍角 公式的基础,对于三角变换,三角恒等式的证明,三角函数式的化简、 求值等三角问题的解决有重要的支撑作用,而且其推导过程本身就具 有重要的教育价值。二、学生学习情况分析本节课的主要 内容是“两角差的余弦公式的推导及证明”,用到的工具有“单位圆 中三角函数的定义”和“平面向量数量积的定义及坐标表示”,都属 于基础知识,内容简单,容易理解和接受。但是在向量法证明的过程 中,向量夹角的范围是[0,丸],与两角差a-B的范围不一致,学 生对角的范围说明不清,是本节课的难点。三、设计思想教 学理念:以“研究性学习”为载体,培养学生自主学习、小组合作的 能力。教学原则:注重学生自主学习与探究能力的培养,体现 学生个性的发展与小组合作共性的融合。教学方法:先学后教, 小组合作,师生互动。四、教学目标知识与技能:了解用 向量法推导两角差的余弦公式的过程,掌握两角和(差)的余弦公式 并能运用公式进行简单的三角函数式的化简、求值。过程与方 法:自主探究两角差的余弦公式的表现形式,经历用向量的数量积推 导两角差的余弦公式的过程,并能独立利用余弦的差角公式推出余弦 的和角公式,理解化归思想在三角变换中的作用。情感态度与 价值观:体验和感受数学发现和创造的过程,感悟事物之间普遍联系 和转化的关系。五、教学重点与难点重点:两角差的余弦 公式的推导及证明。难点:引入向量法证明两角差的余弦公式 及两角差范围的说明。六、教学程序设计1.情境创设,课上展 示。课前探究:课上展示:请同学们展示一下课前所得到 的结果吧。设计意图:课前以问题串的形式给学生指明研究方 向。问题层层递进,从特殊到一般,使学生的研究具有一定的坡度性。 既让学生容易上手,又让学生在研究过程中慢慢深入与提高。主 要目的:让学生自主发现两角差的余弦公式的表达形式。通过 课上展示,学生把课下研究出来的成果与全班同学共享,产生共鸣, 为进一步研究两角差的余弦公式做好准备,同时增强表达能力及自信 心。 2.合作探究,小组展示。探究一:两角差的余弦公式 的推导 问题4:问题2中我们所得到的结论对于任意角还成立 吗?你能证明吗?问题5:观察我们得到结论的形式,你能联 想到什么呢? 探究二:两角和的余弦公式的推导问题6: 你能根据差角的余弦公式推导出和角的余弦公式吗?问题7: 比较差角的余弦公式与和角的余弦公式,它们在结构上有何异同点? 通过小组展示,各个小组之间产生思维的碰撞,迸出火花,得到新的 灵感与智慧。从而培养学生团结协作与小组合作的能力。3.巩 固知识,例题讲解。例1:利用两角和与差的余弦公式证明下 列诱导公式: 例 3:化简 coslOO0 cos40° +sin80° sin40° 设计意图:教师对各小组展示内容做适当点评,并且对“向量法证明 的优点”,“向量法证明过程的完善”,“向量法中向量夹角与两角 差的范围的统一”做简要讲解。例1,例2都是公式的直接应 用。例1让学生体会诱导公式将余弦的和差角公式推导出正弦的和差 角公式,为下节课埋下伏笔。例2中根据cosl5°的值求sinl5°的 值,tanl5°的值的过程都是为推导正弦和差公式,正切和差公式做 铺垫。 变式将例2中具体的角变成抽象的角,利用同角三角函 数公式求解。在由sin a的值求cos a的值或由cos B的值求sinB 的值时,要注意根据角的范围确定三角函数值的符号。例3: 是公式的逆用,培养学生逆向思维的能力,让学生对公式结构再认识。 4.提升总结,巩固练习。提升总结:针对上面的3个例题,谈 谈你学到了什么?(2)利用两角和差的余弦公式求值时,应注 意观察、分析题设和公式的结构特点,从整体上把握公式,灵活的运 用公式。 (3)在解题过程中,要注意角的范围,确定三角函数 值的符号,以防增根、漏根。设计意图:主要以学生总结为主, 老师做适当点评及补充。七、教学反思本节课主要以学生 的自主学习、小组合作为主,充分发挥了学生的自主探究能力和团队 协作能力,提高了学生发现问题、探究问题和解决问题的能力。情境 创设中利用三个问题让学生在课前提前熟悉本节课所学的内容“是 什么”,“我能得到哪些结论”,调动了学生的思维与学习的积极性, 激发了学生的求知欲。但是但是如果给出图像,则又会限制数 学优秀的学生的解题思路与方法,这对矛盾是由学生的差异所决定的。 教师在课堂上应指导、启发学生,注意教学的示范性,明确解题的规 范性,实现学生在学习过程中知识的跨越。总之,教学有法,教无定 法,贵在得法,为了提高课堂教学效率,我们要从学生的实际出发, 以学法带动教法,为高效课堂保驾护航。