勾股定理经典例题详解
勾股定理经典例题详解 学问点一:勾股定理 假如直角三角形的两直角边长分别为:a,b,斜边长为c,那么a2+b2=c2.即直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方. 要点诠释:(1)勾股定理揭示的是直角三角形平方关系的定理。 (2)勾股定理只适用于直角三角形,而不适用于锐角三角形和钝角三角。 (3)理解勾股定理的一些变式: c2=a2+b2, a2=c2-b2, b2=c2-a2 , c2=(a+b)2-2ab 学问点二:用面积证明勾股定理 方法一:将四个全等的直角三角形拼成如图(1)所示的正方形。 图(1)中,所以。 方法二:将四个全等的直角三角形拼成如图(2)所示的正方形。 图(2)中,所以。 方法三:将四个全等的直角三角形分别拼成如图(3)—1和(3)—2所示的两个形态相同的正方形。 在(3)—1中,甲的面积=(大正方形面积)—(4个直角三角形面积), 在(3)—2中,乙和丙的面积和=(大正方形面积)—(4个直角三角形面积), 所以,甲的面积=乙和丙的面积和,即:. 方法四:如图(4)所示,将两个直角三角形拼成直角梯形。 ,所以。 学问点三:勾股定理的作用 1.已知直角三角形的两条边长求第三边; 2.已知直角三角形的一条边,求另两边的关系; 3.用于证明平方关系的问题; 4.利用勾股定理,作出长为的线段。 2. 在理解的基础上熟识下列勾股数 满意不定方程x2+y2=z2的三个正整数,称为勾股数(又称为高数或毕达哥拉斯数),明显,以x,y,z为三边长的三角形肯定是直角三角形。 熟识下列勾股数,对解题是会有帮助的: ①3、4、5②5、12、13;③8、15、17;④7、24、25;⑤10、24、26;⑥9、40、41. 假如(a,b,c)是勾股数,当t>0时,以at,bt,ct为三角形的三边长,此三角形必为直角三角形。 经典例题透析 类型一:勾股定理的干脆用法 1、在Rt△ABC中,∠C=90° (1)已知a=6, c=10,求b, (2)已知a=40,b=9,求c; (3)已知c=25,b=15,求a. 思路点拨: 写解的过程中,肯定要先写上在哪个直角三角形中,留意勾股定理的变形运用。 解析:(1) 在△ABC中,∠C=90°,a=6,c=10,b= (2) 在△ABC中,∠C=90°,a=40,b=9,c= (3) 在△ABC中,∠C=90°,c=25,b=15,a= 总结升华:有一些题目的图形较困难,但中心思想还是化为直角三角形来解决。如:不规则图形的面积,可转化为特别图形求解,本题通过将图形转化为直角三角形的方法,把四边形面积转化为三角形面积之差或和。 举一反三 【变式】:如图∠B=∠ACD=90°, AD=13,CD=12, BC=3,则AB的长是多少? 【答案】∵∠ACD=90° AD=13, CD=12 ∴AC2 =AD2-CD2 =132-122 =25 ∴AC=5 又∵∠ABC=90°且BC=3 ∴由勾股定理可得 AB2=AC2-BC2 =52-32 =16 ∴AB= 4 ∴AB的长是4. 类型二:勾股定理的构造应用 2、如图,已知:在中,,,. 求:BC的长. 思路点拨:由条件,想到构造含角的直角三角形,为此作于D,则有 ,,再由勾股定理计算出AD、DC的长,进而求出BC的长. 解析:作于D,则因, ∴(的两个锐角互余) ∴(在中,假如一个锐角等于, 那么它所对的直角边等于斜边的一半). 依据勾股定理,在中, . 依据勾股定理,在中, . ∴ . 总结升华:利用勾股定理计算线段的长,是勾股定理的一个重要应用. 当题目中没有垂直条件时,也常常作垂线构造直角三角形以便应用勾股定理. 举一反三【变式1】如图,已知:,,于P. 求证:. 思路点拨: 图中已有两个直角三角形,但是还没有以BP为边的直角三角形. 因此,我们考虑构造一个以BP为一边的直角三角形. 所以连结BM. 这样,事实上就得到了4个直角三角形. 那么依据勾股定理,可证明这几条线段的平方之间的关系. 解析:连结BM,依据勾股定理,在中, . 而在中,则依据勾股定理有 . ∴ 又∵ (已知), ∴. 在中,依据勾股定理有 , ∴. 【变式2】已知:如图,∠B=∠D=90°,∠A=60°,AB=4,CD=2。求:四边形ABCD的面积。 分析:如何构造直角三角形是解本题的关键,可以连结AC,或延长AB、DC交于F,或延长AD、BC交于点E,依据本题给定的角应选后两种,进一步依据本题给定的边选第三种较为简洁。 解析:延长AD、BC交于E。 ∵∠A=∠60°,∠B=90°,∴∠E=30°。 ∴AE=2AB=8,CE=2CD=4, ∴BE2=AE2-AB2=82-42=48,BE==。 ∵DE2= CE2-CD2=42-22=12,∴DE==。 ∴S四边形ABCD=S△ABE-S△CDE=AB·BE-CD·DE= 类型三:勾股定理的实际应用 (一)用勾股定理求两点之间的距离问题 3、如图所示,在一次夏令营活动中,小明从营地A点动身,沿北偏东60°方向走了到达B点,然后再沿北偏西30°方向走了500m到达目的地C点。 (1)求A、C两点之间的距离。 (2)确定目的地C在营地A的什么方向。 思路点拨:把实际问题中的角度转化为图形中的角度,利用勾股定理求解。 解析:(1)过B点作BE//AD ∴∠DAB=∠ABE=60° ∵30°+∠CBA+∠ABE=180° ∴∠CBA=90° 即△ABC为直角三角形