勾股定理经典例题详解

勾股定理经典例题详解 学问点一勾股定理 假如直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2．即直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方． 要点诠释（1）勾股定理揭示的是直角三角形平方关系的定理。 （2）勾股定理只适用于直角三角形，而不适用于锐角三角形和钝角三角。 （3）理解勾股定理的一些变式 c2a2b2, a2c2-b2， b2c2-a2 ， c2ab2-2ab 学问点二用面积证明勾股定理 方法一将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形。 图（1）中，所以。 方法二将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形。 图（2）中，所以。 方法三将四个全等的直角三角形分别拼成如图（3）1和（3）2所示的两个形态相同的正方形。 在（3）1中，甲的面积（大正方形面积）（4个直角三角形面积）, 在（3）2中，乙和丙的面积和（大正方形面积）（4个直角三角形面积）, 所以，甲的面积乙和丙的面积和，即. 方法四如图（4）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形。 ，所以。 学问点三勾股定理的作用 1．已知直角三角形的两条边长求第三边； 2．已知直角三角形的一条边，求另两边的关系； 3．用于证明平方关系的问题； 4．利用勾股定理，作出长为的线段。 2. 在理解的基础上熟识下列勾股数 满意不定方程x2y2z2的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），明显，以x,y,z为三边长的三角形肯定是直角三角形。 熟识下列勾股数，对解题是会有帮助的 ①3、4、5②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤10、24、26；⑥9、40、41． 假如a,b,c是勾股数，当t0时，以at,bt,ct为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形。 经典例题透析 类型一勾股定理的干脆用法 1、在Rt△ABC中，∠C90 1已知a6， c10，求b， 2已知a40，b9，求c； 3已知c25，b15，求a. 思路点拨 写解的过程中，肯定要先写上在哪个直角三角形中，留意勾股定理的变形运用。 解析1 在△ABC中，∠C90，a6，c10,b 2 在△ABC中，∠C90，a40，b9,c 3 在△ABC中，∠C90，c25，b15,a 总结升华有一些题目的图形较困难，但中心思想还是化为直角三角形来解决。如不规则图形的面积，可转化为特别图形求解，本题通过将图形转化为直角三角形的方法，把四边形面积转化为三角形面积之差或和。 举一反三 【变式】如图∠B∠ACD90, AD13,CD12, BC3,则AB的长是多少 【答案】∵∠ACD90 AD13, CD12 ∴AC2 AD2－CD2 132－122 25 ∴AC5 又∵∠ABC90且BC3 ∴由勾股定理可得 AB2AC2－BC2 52－32 16 ∴AB 4 ∴AB的长是4. 类型二勾股定理的构造应用 2、如图，已知在中，，，. 求BC的长. 思路点拨由条件，想到构造含角的直角三角形，为此作于D，则有 ，，再由勾股定理计算出AD、DC的长，进而求出BC的长. 解析作于D，则因， ∴（的两个锐角互余） ∴（在中，假如一个锐角等于， 那么它所对的直角边等于斜边的一半）. 依据勾股定理，在中， . 依据勾股定理，在中， . ∴ . 总结升华利用勾股定理计算线段的长，是勾股定理的一个重要应用. 当题目中没有垂直条件时，也常常作垂线构造直角三角形以便应用勾股定理. 举一反三【变式1】如图，已知，，于P. 求证. 思路点拨 图中已有两个直角三角形，但是还没有以BP为边的直角三角形. 因此，我们考虑构造一个以BP为一边的直角三角形. 所以连结BM. 这样，事实上就得到了4个直角三角形. 那么依据勾股定理，可证明这几条线段的平方之间的关系. 解析连结BM，依据勾股定理，在中， . 而在中，则依据勾股定理有 . ∴ 又∵ （已知）， ∴. 在中，依据勾股定理有 ， ∴. 【变式2】已知如图，∠B∠D90，∠A60，AB4，CD2。求四边形ABCD的面积。 分析如何构造直角三角形是解本题的关键，可以连结AC，或延长AB、DC交于F，或延长AD、BC交于点E，依据本题给定的角应选后两种，进一步依据本题给定的边选第三种较为简洁。 解析延长AD、BC交于E。 ∵∠A∠60，∠B90，∴∠E30。 ∴AE2AB8，CE2CD4， ∴BE2AE2-AB282-4248，BE。 ∵DE2 CE2-CD242-2212，∴DE。 ∴S四边形ABCDS△ABE-S△CDEABBE-CDDE 类型三勾股定理的实际应用 （一）用勾股定理求两点之间的距离问题 3、如图所示，在一次夏令营活动中，小明从营地A点动身，沿北偏东60方向走了到达B点，然后再沿北偏西30方向走了500m到达目的地C点。 （1）求A、C两点之间的距离。 （2）确定目的地C在营地A的什么方向。 思路点拨把实际问题中的角度转化为图形中的角度，利用勾股定理求解。 解析（1）过B点作BE//AD ∴∠DAB∠ABE60 ∵30∠CBA∠ABE180 ∴∠CBA90 即△ABC为直角三角形