勾股定理典型题型
勾股定理典型题型 新人教版八年级下册勾股定理典型例习题 一、经典例题精讲 题型一:干脆考查勾股定理 例1.在中,. ⑴已知,.求的长 ⑵已知,,求的长分析:干脆应用勾股定理 解:⑴ ⑵ 题型二:利用勾股定理测量长度 例题1 假如梯子的底端离建筑物9米,那么15米长的梯子可以到达建筑物的高度是多少米? 解析:这是一道大家熟知的典型的“知二求一”的题。把实物模型转化为数学模型后,.已知斜边长和一条直角边长,求另外一条直角边的长度,可以干脆利用勾股定理! 依据勾股定理AC2+BC2=AB2, 即AC2+92=152,所以AC2=144,所以AC=12. 例题2 如图(8),水池中离岸边D点1.5米的C处,直立长着一根芦苇,出水部分BC的长是0.5米,把芦苇拉到岸边,它的顶端B恰好落到D点,并求水池的深度AC. 解析:同例题1一样,先将实物模型转化为数学模型,如图2. 由题意可知△ACD中,∠ACD=90°,在Rt△ACD中,只知道CD=1.5,这是典型的利用勾股定理“知二求一”的类型。 标准解题步骤如下(仅供参考): 解:如图2,依据勾股定理,AC2+CD2=AD2 设水深AC= x米,那么AD=AB=AC+CB=x+0.5 x2+1.52=( x+0.5)2 解之得x=2. 故水深为2米. 题型三:勾股定理和逆定理并用—— 例题3 如图3,正方形ABCD中,E是BC边上的中点,F是AB上一点,且那么△DEF是直角三角形吗?为什么? 解析:这道题把许多条件都隐藏了,乍一看有点摸不着头脑。细致读题会意可以发觉规律,没有任何条件,我们也可以开创条件,由可以设AB=4a,那么BE=CE=2 a,AF=3 a,BF= a,那么在Rt△AFD 、Rt△BEF和 Rt△CDE中,分别利用勾股定理求出DF,EF和DE的长,反过来再利用勾股定理逆定理去推断△DEF是否是直角三角形。 具体解题步骤如下: 解:设正方形ABCD的边长为4a,则BE=CE=2 a,AF=3 a,BF= a 在Rt△CDE中,DE2=CD2+CE2=(4a)2+(2 a)2=20 a2 同理EF2=5a2, DF2=25a2 在△DEF中,EF2+ DE2=5a2+ 20a2=25a2=DF2 ∴△DEF是直角三角形,且∠DEF=90°. 注:本题利用了四次勾股定理,是驾驭勾股定理的必练习题。 题型四:利用勾股定理求线段长度—— 例题4 如图4,已知长方形ABCD中AB=8cm,BC=10cm,在边CD上取一点E,将△ADE折叠使点D恰好落在BC边上的点F,求CE的长. 解析:解题之前先弄清晰折叠中的不变量。合理设元是关键。 注:本题接下来还可以折痕的长度和求重叠部分的面积。 题型五:利用勾股定理逆定理推断垂直—— 例题5 如图5,王师傅想要检测桌子的表面AD边是否垂直与AB边和CD边,他测得AD=80cm,AB=60cm,BD=100cm,AD边与AB边垂直吗?怎样去验证AD边与CD边是否垂直? 解析:由于实物一般比较大,长度不简单用直尺来便利测量。我们通常截取部分长度来验证。如图4,矩形ABCD表示桌面形态,在AB上截取AM=12cm,在AD上截取AN=9cm(想想为什么要设为这两个长度?),连结MN,测量MN的长度。 ①假如MN=15,则AM2+AN2=MN2,所以AD边与AB边垂直; ②假如MN=a≠15,则92+122=81+144=225, a2≠225,即92+122≠ a2,所以∠A不是直角。利用勾股定理解决实际问题—— 例题6 有一个传感器限制的灯,安装在门上方,离地高4.5米的墙上,任何东西只要移至5米以内,灯就自动打开,一个身高1.5米的学生,要走到离门多远的地方灯刚好打开? 解析:首先要弄清晰人走过去,是头先距离灯5米还是脚先距离灯5米,可想而知应当是头先距离灯5米。转化为数学模型,如图6 所示,A点表示限制灯,BM表示人的高度,BC∥MN,BC⊥AN当头(B点)距离A有5米时,求BC的长度。已知AN=4.5米,所以AC=3米,由勾股定理,可计算BC=4米.即使要走到离门4米的时候灯刚好打开。 题型六:旋转问题: 例1、如图,△ABC是直角三角形,BC是斜边,将△ABP绕点A逆时针旋转后,能与△ACP′重合,若AP=3,求PP′的长。 变式1:如图,P是等边三角形ABC内一点,PA=2,PB=,PC=4,求△ABC的边长. 分析:利用旋转变换,将△BPA绕点B逆时针选择60°,将三条线段集中到同一个三角形中, 依据它们的数量关系,由勾股定理可知这是一个直角三角形. 变式2、如图,△ABC为等腰直角三角形,∠BAC=90°,E、F是BC上的点,且∠EAF=45°, 摸索究间的关系,并说明理由. 题型七:关于翻折问题 例1、如图,矩形纸片ABCD的边AB=10cm,BC=6cm,E为BC上一点,将矩形纸片沿AE折叠,点B恰好落在CD边上的点G处,求BE的长. 变式:如图,AD是△ABC的中线,∠ADC=45°,把△ADC沿直线AD翻折,点C落在点C’的位置,BC=4,求BC’的长. 题型八:关于勾股定理在实际中的应用: 例1、如图,马路MN和马路PQ在P点处交汇,点A处有一所中学,AP=160米,点A到马路MN的距离为80米,假使拖拉机行驶时,四周100米以内会受到噪音影响,那么拖拉机在马路MN上沿PN方向行驶时,学校是否会受到影响,请说明理由;假如受到影响,已知拖拉机的速度是18千米/小时,那么学校受到影响的时间为多少? 题型九:关于最短性问题 例5、如右图1-19,壁虎在一座底面半径为2米,高为4米的油罐的下底边沿A处,它发觉在自己的正上方油罐上边缘的B处有一只害虫,便确定捕获这只害虫,为了不引起害虫的留意,它有意不走直线,而是围着油罐,沿一条螺旋路途,从背后对害虫进行突然攻击.结果,壁虎的偷袭得到胜利,获得了一顿美餐.请问壁虎至少要爬行多少路程才能捕到害虫?(π取3.14,结果保留1位小数,可以用计算器计算)变式:如图为一棱长为3cm的正方体,把全部面都分为9个小正方形,其边长都是1cm,假设一只蚂蚁每秒爬行2cm,则它从下地面A点沿表面爬行至右侧面的B点,最少要花几秒钟? 三、课后训练: 一、填空题 C O A B D E F 第3题图 D B C A 第4题图 1.如图(1),在高2米,坡角为30°的楼梯表面铺地毯,地毯的长至少需________米. 图(1) 2.种盛饮料的圆柱形杯(如图),测得内部底面半径为2.5㎝,高为12㎝,吸管放进杯里,杯口外面至少要露出4.6㎝,问吸管要做 ㎝。 3.已知:如图,△ABC中,∠C = 90°,点O为△ABC的三条角平分线的交点,OD⊥BC,OE⊥AC,OF⊥AB,点D、E、F分别是垂足,且BC = 8cm,CA = 6cm,则点O到三边AB,AC和BC的距离分别等于