勾股定理典型题型

勾股定理典型题型 新人教版八年级下册勾股定理典型例习题 一、经典例题精讲 题型一干脆考查勾股定理 例１.在中，． ⑴已知，．求的长 ⑵已知，，求的长分析干脆应用勾股定理 解⑴ ⑵ 题型二利用勾股定理测量长度 例题1 假如梯子的底端离建筑物9米，那么15米长的梯子可以到达建筑物的高度是多少米 解析这是一道大家熟知的典型的“知二求一”的题。把实物模型转化为数学模型后，.已知斜边长和一条直角边长，求另外一条直角边的长度，可以干脆利用勾股定理 依据勾股定理AC2BC2AB2, 即AC292152,所以AC2144,所以AC12. 例题2 如图（8），水池中离岸边D点1.5米的C处，直立长着一根芦苇，出水部分BC的长是0.5米，把芦苇拉到岸边，它的顶端B恰好落到D点，并求水池的深度AC. 解析同例题1一样，先将实物模型转化为数学模型，如图2. 由题意可知△ACD中,∠ACD90,在Rt△ACD中，只知道CD1.5，这是典型的利用勾股定理“知二求一”的类型。 标准解题步骤如下（仅供参考） 解如图2，依据勾股定理，AC2CD2AD2 设水深AC x米，那么ADABACCBx0.5 x21.52（ x0.5）2 解之得x2. 故水深为2米. 题型三勾股定理和逆定理并用 例题3 如图3，正方形ABCD中，E是BC边上的中点，F是AB上一点，且那么△DEF是直角三角形吗为什么 解析这道题把许多条件都隐藏了，乍一看有点摸不着头脑。细致读题会意可以发觉规律，没有任何条件，我们也可以开创条件，由可以设AB4a，那么BECE2 a,AF3 a,BF a,那么在Rt△AFD 、Rt△BEF和 Rt△CDE中，分别利用勾股定理求出DF,EF和DE的长，反过来再利用勾股定理逆定理去推断△DEF是否是直角三角形。 具体解题步骤如下 解设正方形ABCD的边长为4a,则BECE2 a,AF3 a,BF a 在Rt△CDE中，DE2CD2CE24a22 a220 a2 同理EF25a2, DF225a2 在△DEF中，EF2 DE25a2 20a225a2DF2 ∴△DEF是直角三角形，且∠DEF90. 注本题利用了四次勾股定理，是驾驭勾股定理的必练习题。 题型四利用勾股定理求线段长度 例题4 如图4，已知长方形ABCD中AB8cm,BC10cm,在边CD上取一点E，将△ADE折叠使点D恰好落在BC边上的点F，求CE的长. 解析解题之前先弄清晰折叠中的不变量。合理设元是关键。 注本题接下来还可以折痕的长度和求重叠部分的面积。 题型五利用勾股定理逆定理推断垂直 例题5 如图5，王师傅想要检测桌子的表面AD边是否垂直与AB边和CD边，他测得AD80cm，AB60cm，BD100cm，AD边与AB边垂直吗怎样去验证AD边与CD边是否垂直 解析由于实物一般比较大，长度不简单用直尺来便利测量。我们通常截取部分长度来验证。如图4，矩形ABCD表示桌面形态，在AB上截取AM12cm,在AD上截取AN9cm想想为什么要设为这两个长度，连结MN，测量MN的长度。 ①假如MN15,则AM2AN2MN2,所以AD边与AB边垂直； ②假如MNa≠15,则9212281144225, a2≠225,即92122≠ a2，所以∠A不是直角。利用勾股定理解决实际问题 例题6 有一个传感器限制的灯，安装在门上方，离地高4.5米的墙上，任何东西只要移至5米以内，灯就自动打开，一个身高1.5米的学生，要走到离门多远的地方灯刚好打开 解析首先要弄清晰人走过去，是头先距离灯5米还是脚先距离灯5米，可想而知应当是头先距离灯5米。转化为数学模型，如图6 所示，A点表示限制灯，BM表示人的高度，BC∥MN,BC⊥AN当头（B点）距离A有5米时，求BC的长度。已知AN4.5米,所以AC3米，由勾股定理，可计算BC4米.即使要走到离门4米的时候灯刚好打开。 题型六旋转问题 例1、如图，△ABC是直角三角形，BC是斜边，将△ABP绕点A逆时针旋转后，能与△ACP′重合，若AP3，求PP′的长。 变式1如图，P是等边三角形ABC内一点，PA2,PB,PC4,求△ABC的边长. 分析利用旋转变换，将△BPA绕点B逆时针选择60，将三条线段集中到同一个三角形中， 依据它们的数量关系，由勾股定理可知这是一个直角三角形. 变式2、如图，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC90，E、F是BC上的点，且∠EAF45， 摸索究间的关系，并说明理由. 题型七关于翻折问题 例1、如图，矩形纸片ABCD的边AB10cm，BC6cm，E为BC上一点，将矩形纸片沿AE折叠，点B恰好落在CD边上的点G处，求BE的长. 变式如图，AD是△ABC的中线，∠ADC45，把△ADC沿直线AD翻折，点C落在点C’的位置，BC4,求BC’的长. 题型八关于勾股定理在实际中的应用 例1、如图，马路MN和马路PQ在P点处交汇，点A处有一所中学，AP160米，点A到马路MN的距离为80米，假使拖拉机行驶时，四周100米以内会受到噪音影响，那么拖拉机在马路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到影响，请说明理由；假如受到影响，已知拖拉机的速度是18千米/小时，那么学校受到影响的时间为多少 题型九关于最短性问题 例5、如右图1－19，壁虎在一座底面半径为2米，高为4米的油罐的下底边沿A处，它发觉在自己的正上方油罐上边缘的B处有一只害虫，便确定捕获这只害虫，为了不引起害虫的留意，它有意不走直线，而是围着油罐，沿一条螺旋路途，从背后对害虫进行突然攻击．结果，壁虎的偷袭得到胜利，获得了一顿美餐．请问壁虎至少要爬行多少路程才能捕到害虫（π取3.14，结果保留1位小数，可以用计算器计算）变式如图为一棱长为3cm的正方体，把全部面都分为9个小正方形，其边长都是1cm，假设一只蚂蚁每秒爬行2cm，则它从下地面A点沿表面爬行至右侧面的B点，最少要花几秒钟 三、课后训练 一、填空题 C O A B D E F 第3题图 D B C A 第4题图 1．如图1，在高2米，坡角为30的楼梯表面铺地毯，地毯的长至少需________米． 图1 2．种盛饮料的圆柱形杯（如图），测得内部底面半径为2.5㎝，高为12㎝，吸管放进杯里，杯口外面至少要露出4.6㎝，问吸管要做 ㎝。 3．已知如图，△ABC中，∠C 90，点O为△ABC的三条角平分线的交点，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，点D、E、F分别是垂足，且BC 8cm，CA 6cm，则点O到三边AB，AC和BC的距离分别等于