勾股定理及其逆定理 (习题及答案)
勾股定理及其逆定理(习题) Ø 例题示范 例 1:如图,强大的台风使得一棵树在离地面 3m 处折断倒下, 树的顶部落在离树的底部 4m 处,这棵树折断之前有多高? 解:如图,由题意,得 AC=3,BC=4,∠ACB=90°A 在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°, 由勾股定理,得 AC2+BC2=AB2 ∴32+42=AB2 ∴AB=5CB ∴AB+AC=5+3=8 答:这棵树折断之前高 8m. 例 2:如图,在△ABC 中,AB=13cm,AC=5cm,BC=12cm. 求证:∠C=90°. A CB 证明:如图 在△ABC 中,AB=13,AC=5,BC=12 ∵52+122=132 ∴AC2+BC2=AB2 ∴△ABC 为直角三角形,且∠C=90°. 第 7 页 Ø 巩固练习 1. 如图,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,若 BC=8,AB=17,则 AC 的长为 . B CA 2. 已知甲、乙两人从同一地点动身,甲往东走了 12km,乙往南走了 5km,这时甲、乙两人之间的距离为 . 3. 如图,分别以直角三角形的三边为直径作半圆,三个半圆的面积从小到大依次记为 S1,S2,S3,则 S1,S2,S3 之间的关系是 ( ) A.Sl+S2>S3B.Sl+S20);② 111 ;③32,42,52; 345 ④11,60,61;⑤ (m + n)2 -1,2(m + n),(m + n)2 +1 (m,n 为正整数). 其中能构成直角三角形的有() A.2 个B.3 个C.4 个D.5 个 8. 如图,在正方形 ABCD 中,点 E,F 分别在 AD,CD 边上,AD 若 AB=4,AE=2,DF=1,则图中的直角三角形共有 个.F 9. 如图,求出下列直角三角形中未知边的长度:b= , c= .BC 10 1524 10. 如图,一架长 25 米的云梯斜靠在一面墙上,梯子底端与墙根之间的距离为 7 米. (1)这个梯子的顶端距地面有多高? (2)假如梯子的顶端下滑了 4 米,那么梯子的底端在水平方向上滑动了几米? 11. 在△ABC 中,AB=10,BC=12,BC 边上的中线 AD=8,求 AC 的长.A BDC 12. 在△ABC 中,点 D 是线段 BC 上的一点,已知 AB=15,AD=12, AC=13,BD=9.求 BC 的长. Ø 思索小结 1. 赵爽弦图和毕达哥拉斯弦图都是由四个全等的 三角形拼成的,但是在拼的过程中有区分,赵爽弦图的弦在 (填“内”或“外”),毕达哥拉斯弦图的弦在 (填“内”或“外”),请你画出对应的弦图. 赵爽弦图毕达哥拉斯弦图 2. 我们知道 3,4,5 是一组勾股数,那么 3k,4k,5k(k 是正整数) (填“是”或“不是”)一组勾股数;一般地,假如 a,b,c( a < b < c )是一组勾股数,那么 ak,bk,ck(k 是正整数)是一组勾股数吗?若是,请证明;若不是,请说明理由. 解:ak,bk,ck(k 是正整数) 一组勾股数,理由如下: ∵a,b,c 是一组勾股数 ∵k≠0 ∴k2a2+k2b2 k2c2 ∴(ak)2+(bk)2 (ck)2 ∵k 为正整数 ∴ak,bk,ck 也是 ∴ak,bk,ck(k 是正整数) 一组勾股数 C ab BcA 【参考答案】 Ø 巩固练习 1.15 2. 13 km 3. C 4.49 5. 略 6. D 7. B 8.4 9.12,26 10. (1)24 米(2)8 米 11. AC 的长为 10 12. BC 的长为 14 Ø 思索小结 1.直角,外,内图略 2.是,是, a2 + b2 = c2 ,=,=,正整数,是