勾股定理及其逆定理 （习题及答案）

勾股定理及其逆定理（习题） 例题示范 例 1如图，强大的台风使得一棵树在离地面 3m 处折断倒下， 树的顶部落在离树的底部 4m 处，这棵树折断之前有多高 解如图，由题意，得 AC3，BC4，∠ACB90A 在 Rt△ABC 中，∠ACB90， 由勾股定理，得 AC2BC2AB2 ∴3242AB2 ∴AB5CB ∴ABAC538 答这棵树折断之前高 8m． 例 2如图，在△ABC 中，AB13cm，AC5cm，BC12cm． 求证∠C90． A CB 证明如图 在△ABC 中，AB13，AC5，BC12 ∵52122132 ∴AC2BC2AB2 ∴△ABC 为直角三角形，且∠C90． 第 7 页 巩固练习 1. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C90，若 BC8，AB17，则 AC 的长为 ． B CA 2. 已知甲、乙两人从同一地点动身，甲往东走了 12km，乙往南走了 5km，这时甲、乙两人之间的距离为 ． 3. 如图，分别以直角三角形的三边为直径作半圆，三个半圆的面积从小到大依次记为 S1，S2，S3，则 S1，S2，S3 之间的关系是 （ ） A．SlS2S3B．SlS2S3 C．S1S2S3D．S12S2 S3 4. 如图，全部的四边形都是正方形，全部的三角形都是直角三角形，若其中最大正方形的边长为 7cm，则正方形 A，B，C， D 的面积之和为 cm2． 5. 如图 1 是用硬纸板做成的两个全等的直角三角形，两直角边的长分别为 a 和 b，斜边长为 c．图 2 是以 c 为直角边的等腰直角三角形．请你开动脑筋，将它们拼成一个能证明勾股定理的图形． （1）画出拼成的这个图形的示意图，并利用这个图形证明勾股定理； （2）假设图 1 中的直角三角形有若干个，你能运用图 1 中所给的直角三角形拼出另一种能证明勾股定理的图形吗请画出拼成的图形的示意图，并利用该图形证明勾股定理． bb aa 图1图2 6. 以下列长度的三条线段为边，不能组成直角三角形的是 A．1.5，2，2.5B．9，12，15 C．7，24，25D．1，1，2 7. 已知三条线段的长是 ①5k，12k，13k（k0）；② 111 ；③32，42，52； 345 ④11，60，61；⑤ m n2 -1，2m n，m n2 1 （m，n 为正整数）． 其中能构成直角三角形的有（） A．2 个B．3 个C．4 个D．5 个 8. 如图，在正方形 ABCD 中，点 E，F 分别在 AD，CD 边上，AD 若 AB4，AE2，DF1，则图中的直角三角形共有 个．F 9. 如图，求出下列直角三角形中未知边的长度b ， c .BC 10 1524 10. 如图，一架长 25 米的云梯斜靠在一面墙上，梯子底端与墙根之间的距离为 7 米． （1）这个梯子的顶端距地面有多高 （2）假如梯子的顶端下滑了 4 米，那么梯子的底端在水平方向上滑动了几米 11. 在△ABC 中，AB10，BC12，BC 边上的中线 AD8，求 AC 的长．A BDC 12. 在△ABC 中，点 D 是线段 BC 上的一点，已知 AB15，AD12， AC13，BD9．求 BC 的长． 思索小结 1. 赵爽弦图和毕达哥拉斯弦图都是由四个全等的 三角形拼成的，但是在拼的过程中有区分，赵爽弦图的弦在 （填“内”或“外”），毕达哥拉斯弦图的弦在 （填“内”或“外”），请你画出对应的弦图． 赵爽弦图毕达哥拉斯弦图 2. 我们知道 3，4，5 是一组勾股数，那么 3k，4k，5k（k 是正整数） （填“是”或“不是”）一组勾股数；一般地，假如 a，b，c（ a b c ）是一组勾股数，那么 ak，bk，ck（k 是正整数）是一组勾股数吗若是，请证明；若不是，请说明理由． 解ak，bk，ck（k 是正整数） 一组勾股数，理由如下 ∵a，b，c 是一组勾股数 ∵k≠0 ∴k2a2k2b2 k2c2 ∴ak2bk2 ck2 ∵k 为正整数 ∴ak，bk，ck 也是 ∴ak，bk，ck（k 是正整数） 一组勾股数 C ab BcA 【参考答案】 巩固练习 1.15 2. 13 km 3. C 4.49 5. 略 6. D 7. B 8.4 9.12，26 10. （1）24 米（2）8 米 11. AC 的长为 10 12. BC 的长为 14 思索小结 1.直角，外，内图略 2.是，是， a2 b2 c2 ，，，正整数，是