动点的轨迹问题
动点的轨迹问题 依据动点的运动规律求出动点的轨迹方程,这是解析几何的一大课题:一方面求轨迹方程的实质是将“形”转化为“数”,将“曲线”转化为“方程”,通过对方程的探讨来相识曲线的性质;另一方面求轨迹方程是培育学生数形转化的思想、方法以与技巧的极好教材。该内容不仅贯穿于“圆锥曲线”的教学的全过程,而且在建构思想、函数方程思想、化归转化思想等方面均有体现和渗透。 轨迹问题是高考中的一个热点和重点,在历年高考中出现的频率较高,特殊是当今高考的改革以考查学生创新意识为突破口,留意考查学生的逻辑思维实力,运算实力,分析问题和解决问题的实力,而轨迹方程这一热点,常涉与函数、三角、向量、几何等学问,能很好地反映学生在这些实力方面的驾驭程度。 求轨迹方程的的基本步骤:建设现代化(检验) 建(坐标系)设(动点坐标)现(限制条件,动点、已知点满意的条件)代(动点、已知点坐标代入)化(化简整理)检验(要留意定义域“挖”与“补”) 求轨迹方程的的基本方法: 1.干脆法:假如动点运动的条件就是一些几何量的等量关系,这些条件简洁明确,不须要特殊的技巧,易于表述成含x,y的等式,就得到轨迹方程,这种方法称之为干脆法。 2.定义法:运用解析几何中一些常用定义(例如圆锥曲线的定义),可从曲线定义动身干脆写出轨迹方程,或从曲线定义动身建立关系式,从而求出轨迹方程。 3.代入法:动点所满意的条件不易表述或求出,但形成轨迹的动点P(x,y)却随另一动点Q(x’,y’)的运动而有规律的运动,且动点Q的轨迹为给定或简洁求得,则可先将x’,y’表示为x,y的式子,再代入Q的轨迹方程,然而整理得P的轨迹方程,代入法也称相关点法。 4.参数法:求轨迹方程有时很难干脆找到动点的横坐标、纵坐标之间的关系,则可借助中间变量(参数),使x,y之间建立起联系,然而再从所求式子中消去参数,得出动点的轨迹方程。 5.交轨法:求两动曲线交点轨迹时,可由方程干脆消去参数,例如求两动直线的交点时常用此法,也可以引入参数来建立这些动曲线的联系,然而消去参数得到轨迹方程。可以说是参数法的一种变种。 6.转移法:假如动点P随着另一动点Q的运动而运动,且Q点在某一已知曲线上运动,那么只需将Q点的坐标来表示,并代入已知曲线方程,便可得到P点的轨迹方程。 7.几何法:利用平面几何或解析几何的学问分析图形性质,发觉动点运动规律和动点满意的条件,然而得出动点的轨迹方程。 8.待定系数法:求圆、椭圆、双曲线以与抛物线的方程常用待定系数法求。 9.点差法:求圆锥曲线中点弦轨迹问题时,常把两个端点设为并代入圆锥曲线方程,然而作差求出曲线的轨迹方程。 此部分内容主要考查圆锥曲线,圆锥曲线的定义是根本,它是相应标准方程和几何性质的“源”。对于圆锥曲线的有关问题,要有运用圆锥曲线定义解题的意识,“回来定义”是一种重要的解题策略。 二、留意事项: 1. 求轨迹方程的关键是在纷繁困难的运动变更中,发觉动点P的运动规律,即P点满意的等量关系,因此要学会动中求静,变中求不变。 来表示,若要推断轨迹方程表示何种曲线,则往往需将参数方程化为一般方程。 3. 求出轨迹方程后,应留意检验其是否符合题意,既要检验是否增解,(即以该方程的某些解为坐标的点不在轨迹上),又要检验是否丢解。(即轨迹上的某些点未能用所求的方程表示),出现增解则要舍去,出现丢解,则需补充。检验方法:探讨运动中的特殊情形或极端情形。 4.求轨迹方程还有整体法等其他方法。在此不一一缀述。 【典型例题选讲】 一、干脆法题型: 例1 已知直角坐标系中,点Q(2,0),圆C的方程为,动点M到圆C的切线长与的比等于常数,求动点M的轨迹。 解:设MN切圆C于N,则。 设,则 化简得 (1)当时,方程为,表示一条直线。 (2)当时,方程化为表示一个圆。 说明:求轨迹方程一般只要求出方程即可,求轨迹却不仅要求出方程而且要说明轨迹是什么。 变式- - 如图,圆与圆的半径都是1,,过动点P分别作圆、圆的切线PM、PN(M、N分别为切点),使得.试建立适当的坐标系,并求动点P的轨迹方程. 解:以的中点O为原点,所在的 直线为轴,建立平面直角坐标系, 则 由已知可得: 因为两圆的半径均为1,所以 设,则,即 所以所求轨迹方程为:(或) 评析: 1、用干脆法求动点轨迹一般有建系,设点,列式,化简,证明五个步骤,最终的证明可以省略,但要留意“挖”与“补”。 2、求轨迹方程一般只要求出方程即可,求轨迹却不仅要求出方程而且要说明轨迹是什么。 二、定义法题型: 运用解析几何中一些常用定义(例如圆锥曲线的定义),可从曲线定义动身干脆写出轨迹方程,或从曲线定义动身建立关系式,从而求出轨迹方程。 例2 已知A、B、C是直线l上的三点,且|AB|=|BC|=6,⊙O′切直线l于点A,又过B、C作⊙O′异于l的两切线,设这两切线交于点P,求点P的轨迹方程. 【解析】设过B、C异于l的两切线分别切⊙O′于D、E两点, 两切线交于点P.由切线的性质知:|BA|=|BD|,|PD|=|PE|,|CA|=|CE|,故|PB|+|PC|=|BD|+|PD|+|PC|=|BA|+|PE|+|PC| =|BA|+|CE|=|AB|+|CA|=6+12=18>6=|BC|, 故由椭圆定义知,点P的轨迹是以B、C为两焦点的椭圆, 以l所在的直线为x轴,以BC的中点为原点,建立坐标系, 可求得动点P的轨迹方程为:l O P E D C B A 练习: 已知圆O的方程为 x2+y2=100,点A的坐标为(-6,0),M为圆O上任一点,AM的垂直平分线交OM于点P,求点P的方程。 解:由中垂线知,故,即P点的轨迹为以A、O为焦点的椭圆,中心为(-3,0),故P点的方程为 评析:定义法的关键是条件的转化——转化成某一基本轨迹的定义条件。 三、代入法题型: 例3 如图,从双曲线x2-y2=1上一点Q引直线x+y=2的垂线,垂足为N。求线段QN的中点P的轨迹方程。 解:设动点P的坐标为(x,y),点Q的坐标为(x1,y1) 则N( 2x-x1,2y-y1)代入x+y=2,得2x-x1+2y-y1=2 ① 又PQ垂直于直线x+y=2,故,即x-y+y1-x1=0 ② 由①②解方程组得, 代入双曲线方程即可得P点的轨迹方程是2x2-2y2-2x+2y-1=0 练习:已知曲线方程f(x,y)=0.分别求此曲线关于原点,关于x轴,关于y轴,关于直线y=x,关于直线y=-x,关于直线y=3对称的曲线方程。(f(-x,-y)=0,f(x,-y)=0,f(-x,y)=0,f(y,x)=0,f(-x,-y)=0,f(x,6-y)=0) 四、参数法与点差法题型: 求轨迹方程有时很难干脆找到动点的横坐标、纵坐标之间的关系,则可借助中间变量(参数),使x,y之间建立起联系,然而再从所求式子中消去参数,得出动点的轨迹方程。 例4 经过抛物线y2=2p(