动点的轨迹问题

动点的轨迹问题 依据动点的运动规律求出动点的轨迹方程，这是解析几何的一大课题一方面求轨迹方程的实质是将“形”转化为“数”，将“曲线”转化为“方程”，通过对方程的探讨来相识曲线的性质；另一方面求轨迹方程是培育学生数形转化的思想、方法以与技巧的极好教材。该内容不仅贯穿于“圆锥曲线”的教学的全过程，而且在建构思想、函数方程思想、化归转化思想等方面均有体现和渗透。 轨迹问题是高考中的一个热点和重点，在历年高考中出现的频率较高，特殊是当今高考的改革以考查学生创新意识为突破口，留意考查学生的逻辑思维实力，运算实力，分析问题和解决问题的实力，而轨迹方程这一热点，常涉与函数、三角、向量、几何等学问，能很好地反映学生在这些实力方面的驾驭程度。 求轨迹方程的的基本步骤建设现代化（检验） 建（坐标系）设（动点坐标）现（限制条件，动点、已知点满意的条件）代（动点、已知点坐标代入）化（化简整理）检验（要留意定义域“挖”与“补”） 求轨迹方程的的基本方法 1．干脆法假如动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些条件简洁明确，不须要特殊的技巧，易于表述成含x,y的等式，就得到轨迹方程，这种方法称之为干脆法。 2．定义法运用解析几何中一些常用定义（例如圆锥曲线的定义），可从曲线定义动身干脆写出轨迹方程，或从曲线定义动身建立关系式，从而求出轨迹方程。 3.代入法动点所满意的条件不易表述或求出，但形成轨迹的动点Px,y却随另一动点Qx’，y’的运动而有规律的运动，且动点Q的轨迹为给定或简洁求得，则可先将x’,y’表示为x,y的式子，再代入Q的轨迹方程，然而整理得P的轨迹方程，代入法也称相关点法。 4.参数法求轨迹方程有时很难干脆找到动点的横坐标、纵坐标之间的关系，则可借助中间变量（参数），使x,y之间建立起联系，然而再从所求式子中消去参数，得出动点的轨迹方程。 5.交轨法求两动曲线交点轨迹时，可由方程干脆消去参数，例如求两动直线的交点时常用此法，也可以引入参数来建立这些动曲线的联系，然而消去参数得到轨迹方程。可以说是参数法的一种变种。 6.转移法假如动点P随着另一动点Q的运动而运动，且Q点在某一已知曲线上运动，那么只需将Q点的坐标来表示，并代入已知曲线方程，便可得到P点的轨迹方程。 7.几何法利用平面几何或解析几何的学问分析图形性质，发觉动点运动规律和动点满意的条件，然而得出动点的轨迹方程。 8.待定系数法求圆、椭圆、双曲线以与抛物线的方程常用待定系数法求。 9.点差法求圆锥曲线中点弦轨迹问题时，常把两个端点设为并代入圆锥曲线方程，然而作差求出曲线的轨迹方程。 此部分内容主要考查圆锥曲线，圆锥曲线的定义是根本，它是相应标准方程和几何性质的“源”。对于圆锥曲线的有关问题，要有运用圆锥曲线定义解题的意识，“回来定义”是一种重要的解题策略。 二、留意事项 1. 求轨迹方程的关键是在纷繁困难的运动变更中，发觉动点P的运动规律，即P点满意的等量关系，因此要学会动中求静，变中求不变。 来表示，若要推断轨迹方程表示何种曲线，则往往需将参数方程化为一般方程。 3. 求出轨迹方程后，应留意检验其是否符合题意，既要检验是否增解，（即以该方程的某些解为坐标的点不在轨迹上），又要检验是否丢解。（即轨迹上的某些点未能用所求的方程表示），出现增解则要舍去，出现丢解，则需补充。检验方法探讨运动中的特殊情形或极端情形。 4．求轨迹方程还有整体法等其他方法。在此不一一缀述。 【典型例题选讲】 一、干脆法题型 例1 已知直角坐标系中，点Q（2，0），圆C的方程为，动点M到圆C的切线长与的比等于常数，求动点M的轨迹。 解设MN切圆C于N，则。 设，则 化简得 （1）当时，方程为，表示一条直线。 （2）当时，方程化为表示一个圆。 说明求轨迹方程一般只要求出方程即可，求轨迹却不仅要求出方程而且要说明轨迹是什么。 变式- - 如图，圆与圆的半径都是1，，过动点P分别作圆、圆的切线PM、PN（M、N分别为切点），使得．试建立适当的坐标系，并求动点P的轨迹方程． 解以的中点O为原点，所在的 直线为轴，建立平面直角坐标系， 则 由已知可得 因为两圆的半径均为1，所以 设，则，即 所以所求轨迹方程为（或） 评析 1、用干脆法求动点轨迹一般有建系,设点，列式，化简，证明五个步骤，最终的证明可以省略，但要留意“挖”与“补”。 2、求轨迹方程一般只要求出方程即可，求轨迹却不仅要求出方程而且要说明轨迹是什么。 二、定义法题型 运用解析几何中一些常用定义（例如圆锥曲线的定义），可从曲线定义动身干脆写出轨迹方程，或从曲线定义动身建立关系式，从而求出轨迹方程。 例2 已知A、B、C是直线l上的三点，且|AB||BC|6，⊙O′切直线l于点A，又过B、C作⊙O′异于l的两切线，设这两切线交于点P，求点P的轨迹方程. 【解析】设过B、C异于l的两切线分别切⊙O′于D、E两点， 两切线交于点P.由切线的性质知|BA||BD|，|PD||PE|，|CA||CE|，故|PB||PC||BD||PD||PC||BA||PE||PC| |BA||CE||AB||CA|61218＞6|BC|， 故由椭圆定义知，点P的轨迹是以B、C为两焦点的椭圆， 以l所在的直线为x轴，以BC的中点为原点，建立坐标系， 可求得动点P的轨迹方程为l O P E D C B A 练习 已知圆O的方程为 x2y2100,点A的坐标为（-6，0），M为圆O上任一点，AM的垂直平分线交OM于点P，求点P的方程。 解由中垂线知，故，即P点的轨迹为以A、O为焦点的椭圆，中心为（-3，0），故P点的方程为 评析定义法的关键是条件的转化转化成某一基本轨迹的定义条件。 三、代入法题型 例3 如图，从双曲线x2-y21上一点Q引直线xy2的垂线，垂足为N。求线段QN的中点P的轨迹方程。 解设动点P的坐标为（x,y）,点Q的坐标为（x1,y1） 则N（ 2x-x1,2y-y1）代入xy2,得2x-x12y-y12 ① 又PQ垂直于直线xy2，故，即x-yy1-x10 ② 由①②解方程组得, 代入双曲线方程即可得P点的轨迹方程是2x2-2y2-2x2y-10 练习已知曲线方程fx,y0.分别求此曲线关于原点，关于x轴，关于y轴，关于直线yx，关于直线y-x，关于直线y3对称的曲线方程。f-x,-y0,fx,-y0,f-x,y0,fy,x0,f-x,-y0，fx,6-y0 四、参数法与点差法题型 求轨迹方程有时很难干脆找到动点的横坐标、纵坐标之间的关系，则可借助中间变量（参数），使x,y之间建立起联系，然而再从所求式子中消去参数，得出动点的轨迹方程。 例4 经过抛物线y22p