到角公式(5中)研析
两条直线的位置关系〔二〕 南京五中 师:首先,我们来复习一下。上节课我们讲了在平面、平面当中两直线有怎样的位置关系? 生:有平行或者垂直或者相交。 师:平行和相交。其中昨天探讨的是相交当中的特别状况:垂直。◎ 是不是这样?那我们主要探讨的是平行和垂直。是这样吧? 请一个同学回忆一下,对于有斜率的两条直线,我们说,如何来判定线线平行呢?线线平行的充要条件是什么呢?▽ 生:k1等于k2,且b1不等于b2。 师:很好,请坐。是斜率相等,并且截距不同。再请××同学说一下,两线当斜率存在的时候,如何来推断线线垂直呢? 生:两条直线的斜率的乘积为-1。 师:很好。两直线的斜率的乘积为-1。或者我们说,一条直线的斜率是另一条斜率的负倒数。都可以啊。 除了这种判定方法,昨天我给大家补充了位于两条直线的一般式的判定状况。是不是这样啊?我说一下,它的好处就是可以不用探讨斜率存在、不存在。是这样吧。那么对一般式的系数而言,也给了大家充要条件和判定方法。上节课刚刚说过,这节课我就不再罗嗦了。 接着,我们就接着来学习(板书) 直线的位置关系(二) 。 昨天我就给大家介绍了,○①昨天探讨了平行以及相交中的垂直。 ②现在请大家看啊。相交、两直线相交。除了垂直以外,还有更一般的状况,是不是这样啊?(画图) 这是l1,这是l2,,③那么相交不垂直, ④今日我们来探讨不垂直状况的角是怎样刻 画的?★首先,请大家看一下,两条相交 直线可以成几个角? 生:4个。 师:好,可以构成4个角。(板示)它们是两对…… 生:对顶角。 两条直线的位置关系〔二〕 一、复习: 1. 两条直线平行的充要条件。 2. 两条直线垂直的充要条件。 二、新课: 1.直线l1到l2的角。 师:对顶角。好吧。4个角。究竟用哪 个角来刻画l1与l2相交的状况呢? 那我们今日先来探讨一下l1到l2的 角、直线l1到l2的角。(演示大屏幕) 师:直线l1到l2的角怎么定义的?请大 家思索一下这个“到〞字。有了 “到〞,你们感觉到它具有什么性? 生:方向性。▽ 师:特别好。有了方向性,那么l1到l2的角的方向性怎么说呢?一般我们说把l1…… 生:逆时针。▽ 师:围着这个交点〔板示〕逆时针旋转, 旋转到…… 生:与l2完全重合的状况。 师:与l2完全重合的状况,这样旋转过来 的角θ1叫做…… ▽ 师生:直线l1到l2的角。 ◎课题的提出完全是教 师。课题干脆写出来。 假如说生源关系老师不得 不自己提出课题,那也要 尽可能把来龙去脉讲清 楚。这节课其实有好几 次时机来实现这种启发的 教学,但都被老师的“告 诉〞代替了。讲授课中也 可以贯彻建构主义思想, 也可以渗透探讨问题的一 般方法。(◎情境与陶同) ○看这4句话,原来可以 成为很好的启发过程,但 这里除②可以看作是用图 形做了点启发外,完全变 成了“告知的过程〞—— 一步一步地告知。反映教 师缺少启发意识,教学缺 乏艺术想象力,也可以认 为缺少经验,但不是主要 的,缺乏意识是根本。否 那么这几句话稍加变动,就 能成为很自然的启发。 ◎陈旧的教学观念时常 在问题和语言中流露。 语言中流露出她的潜意 识里老师中心主义思想根 深蒂固,满脑子都是传授 灌输的思想,什么都由自 己告知学生。学生真正市 出在完全被动的地位。难 道生源差,学生就只能被 动的学吗? ▽填空性质的问题充溢 课堂。有些问题看似想启 发,而实际几乎就是干脆 告知。对什么时候须要用 启发也不清晰。象前面一 问,问问题就是问问题, 后面跟上一句就成了多 余,且强调充要条件什么 师:好,既然有了直线l1到l2的角,我要问大家了,有没有直线l2到l1的角? 生:有。 师:也有,是吧。说说看。 生:直线l2围着这个交点逆时针旋转与l1重合。 师:很好。l2围着这个交点逆时针旋转与l1重合时所转动的这个角θ2叫直线l2到l1的角。那我问一下了,l1到l2的角有没有范围呀?通过我们刚刚的定义l1到l2的角,依据我们刚刚的定义,我们想想看。 首先是相交的状况,相交就不平行了。那么它围着交点转,所以呢,θ1、l1到l2的角θ1应当大于什么? 生:0°。 师:0°。好,小于多少度呢? 生:小于180°。 师:小于180°。〔板书〕0<θ1<180°。好。这就是我们讲的l1到l2的角。 ★ 现在,我们再来看一下,这个角的定义我们是会了。θ1指的是谁我们 知道了。怎么去求它呢?详细的在平面直角坐标系中运用两条直线的方程来求一下θ1这个到角。 现在我们在直角坐标系下,探讨 一下到角公式。(说三遍问题不明确) 师:假如说这是l1,这条线是l2。那么 大家说说看,l1到l2的角是不是应当 是这个角。(状况一θ1)是这样吧. 〔第一种状况〕 好,再来。假如这是l1,这是l2 (状况二),那么请问一下l1到l2的角 可以是哪个?你来画一下。 (一学生板演) 生:逆时针。 师:逆时针。噢,简洁错吧。逆时针。 生:咦……怎么还是…… 师:l1转到l2。没关系。好,××刚刚上 (其次种状况) 来,觉得你(指状况二)在这儿,我(指状况一)也在这儿。但是,由于l1到l2,所以是这样旋转。她忘了我们定义中的逆时针旋转,是不是这样啊? 肯定要紧扣定义,l1由逆时针旋转到l2。所以说是这个角(状况一θ1)或者是这个角(状况二θ1),都可以吧,随意。这样也行。好了,下面我们想啊,既然是在直角坐标系当中,我们来探讨到角,到角值,就须要用到直线的什么? ▽ 师生:斜率和倾斜角。 1 师:就象我们昨天判定两条直线的位置关系,要用到直线的斜率。那今日也同样如此。我们也要用到直线的斜率这样的…这样的量。那么,斜率就和倾斜角相关。我们首先把l1的倾斜角画出来。是不是在这儿?倾斜角的概念又是怎么说的?把x轴…… 生:逆时针旋转。 师:围着交点,与线的交点逆时针旋转到该直线重合的位置所成的最小正角(状况一)。所以,这就叫做倾斜角α。那么l2的倾斜角在这边吧。是不是?我们把它叫做β。在这幅图中(指状况二),假如l1是这个方向,那么它的l1的倾斜角在这边,是不是?l2的倾斜角呢?在这儿。 现在我们就来看这三个角之间有怎样的关系呢?能不能用一个式子来表示一下,θ1、l1到l2的