中考数学专练总复习平行线及其判定基础知识讲解荐
平行线及其判定(基础)知识讲解 【学习目标】 1. 理解平行线的概念,会用作图工具画平行线,了解在同一平面内两条直线的位置关系; 2. 掌握平行公理及其推论; 3. 掌握平行线的判定方法,并能运用“平行线的判定方法”,判定两条直线是否平行. 【要点梳理】 要点一、平行线的定义及画法 1. 定义:在同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线,如果直线a与b平行,记作a〃b. 要点诠释: (1) 平行线的定义有三个特征:一是在同一个平面内;二是两条直线;三是不相交,三者缺 一不可; (2) 有时说两条射线平行或线段平行,实际是指它们所在的直线平行,两条线段不相交并不 意味着它们就平行. (3) 在同一平面内,两条直线的位置关系只有相交和平行两种.特别地,重合的直线视为一 条直线,不属于上述任何一种位置关系. 用直尺和三角板作平行线的步骤: %1 落:用三角板的一条直角边与已知直线重合. %1 靠:用直尺紧靠三角板另一条直角边. %1 推:沿着直尺平移三角板,使与己知直线重合的直角边通过己知点. %1 画:沿着这条直角边画一条直线,所画直线与己知直线平行. 要点二、平行公理及推论 1. 平行公理:经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行. 2. 推论:如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行. 要点诠释: ⑴平行公理特别强调“经过直线外一点”,而非直线上的点,要区别于垂线的第一性质. (2)公理中“有”说明存在;“只有“说明唯一. (3) “平行公理的推论”也叫平行线的传递性. 要点三、直线平行的判定 判定方法1:同位角相等,两直线平行.如上图,几何语言: Z3=Z2 ・・・AB〃CD (同位角相等,两直线平行) 判定方法2:内错角相等,两直线平行.如上图,几何语言: ・.• Z1 = Z2 ・.・AB〃CD (内错角相等,两直线平行) 判定方法3:同旁内角互补,两直线平行.如上图,儿何语言: ・.• Z4+Z2 = 180° ・・・AB〃CD (同旁内角一互补,两直线平行) 要点诠释:平行线的判定是由角相等或互补,得出平行,即由数推形. 【典型例题】 类型一、平行线的定义及表示 ,1.下列叙述正确的是() A.两条直线不相交就平行 R.在同一平面内,不相交的两条线叫做平行线 C. 在同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线 D. 在同一平面内,不相交的两条线段叫做平行线 【答案】C 【解析】在同一平面内两条直线的位置关系是不相交就平行,但在空间就不一定了,故A 选项错;平行线是在同一平面内不相交的两条直线,不相交的两条曲线就不是平行线,故 B选项错;平行线是针对两条直线而言.不相交的两条线段所在的直线不一定不相交,故D 选项错. 【总结升华】木例属于对概念的考杏,应从平行线的概念入手进行判断. 举一反三: 【变式】在同一平面内,不重合的两条直线的位置关系有() A.平行或垂直 B.平行或相交C.垂直或相交 D.平行、垂直或相交 【答案】B 类型二、平行公理及推论 ,2.下列说法中正确的有() %1 一条直线的平行线只有一条;②过一点与已知直线平行的直线只有一条;③因为a〃b, c〃d,所以a〃d;④经过直线外一点有且只有一条直线与己知直线平行. A. 1个 B 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】一条直线的平行线有无数条,故①错;②中的点在直线外还是在直线上位置不明确, 所以②错,③中b与c的位置关系不明确,所以③也是错误的;根据平行公理可知④正确, 故选A. 【总结升华】木题主要考察的是“平行公理及推论”的内容,要正确理解必须要抓住关键字 词及其重要特征,在理解的基础上记忆,在比较中理解. 举一反三: 【变式】直线a〃b, b〃c,则直线,与“的位置关系是. 【答案】平行 类型三、两直线平行的判定 ▼ 3.(江苏)如图所示,直线a、b被直线c所截,现给出下列四个条件: C 必 3^° ①Z1 = Z5;②Z1 = Z7;③Z2+Z3 = 180° ;@Z4=Z7,其中能判断 a〃b 的条 件的序号是(). A.①.②B.①③ C. @@ D.③④ 【思路点拨】根据平行线的判定方法进行判断. 【答案】A 【解析】①由Z1 = Z5可推出a〃b,理由是同位角相等,两直线平行. %1 Z1 = Z7,又匕7=匕5, ・.・Z1 = Z5,可推出a〃b. %1 Z2+Z3=180°不能推出a〃b. @Z4=Z7不能推出a〃b. 【总结升华】从题目的结论出发分析所要说明的结论能成立,必须具备的是哪些条件,再看 这些条件成立又需具备什么条件,直到追溯到己知条件为止. 举一反三: 【变式1】如图,下列条件中,不能判断直线I、〃 L的是(). A. Z1=Z3 B. Z2=Z3 C. Z4=Z5 D. Z2+Z4=180° 5/ 2/ 【答案】B 【高清课堂:平行线及判定 例1】 【变式2】己知,如图,BE平分ZABC, CF平分匕BCD, Z1=Z2,求证:AB//CD. 【答案】・.• Z1=Z2 ・ 2Z1=2Z2 ,即 ZABC=ZBCD ・・・AB//CD (内错角相等,两直线平行) 牝.如图所示,由⑴匕13,⑵珈D=g可以判定哪两条直线平行. 【思路点拨】试肴将复杂的图形分解成“基本图形”. 【答案与解析】 解:⑴由Z1 = Z3, 可判定AD〃BC (内错角相等,两直线平行); (2)由 ZBAD=ZDCB, Z1 = Z3 得: Z2= ZBAD-Z1 = ZDCB-Z3= Z4 (等式性质),即Z2=Z4 可以判定AB〃CD (内错角相等,两直线平行). ① ② 综上,由(1) (2)可判定:AD〃BC, AB//CD. 【总结升华】本题探索结论的过程采用了 “由因索果”的方法.即在条件下探索由这些条件 可推导出哪些结论,再由这些结论推导出新的结论,直到得出结果. W 5.在同一平面内,如果两条直线都垂直于同一条直线,那么这两条直线平行吗?为什 么? 【答案与解析】 b c 解:这两条直线平行.理由如下: 如图: b±a, c JL a ・•・ Zl = Z2 = 90° ・.・b〃c (同位角相等,两直线平行). 【总结升华】木题的结论可以作为两直线平行的判定方法. 【高清课堂:平行线及判定例5】 举一反三: GM1EG, Z1=Z2, AB与CD平行.吗?请说明理由. 【答案】 解:AB〃CD.理由如下:如图: ・.• EF1EG, GNLLEG (已知), ・.・ZFEQ= ZMGE=90° (垂直的定义). 又Zl = Z2(d 知), ・.・ ZFEQ -Z1 = ZMGE -Z2 (等式性质), 即 Z3=Z4. ・.・AB〃CD (同位角相等,两直线平行).