-数学建模在投资收益与风险中的运用

投资的收益和风险问题 摘 要 本论文主要探讨解决了在组合投资问题中的投资收益与风险的相关问题。分别在不考虑风险和考虑风险的状况下建立相应的数学模型，来使得投资所获得的总利润达到最大。 问题一是一个典型的线性规划问题，我们首先建立单目标的优化模型，也即模型1，用Lingo软件求解，得到在不考虑投资风险的状况下，20亿的可用投资金额所获得的最大利润为153254.4万元。然后分别分析预料到期利润率、可用投资总资金和各投资项目的投资上限对总利润的影响。发觉利润与利润率成正比的关系；可用投资总额有一个上限，当投资额小于这个上限时，总利润与可用投资额成正比的关系，当大于这个上限时，可用投资额与总的利润没有关系，总利润率保持不变；各项目的投资上限均与目标值呈正相关，项目预料到期利润率越大，该项目投资上限的变动对目标值的影响越大。 问题二是一个时间序列预料问题。分别在独立投资与考虑项目间的相互影响投资的状况下来对到期利润率和风险损失率的预料。两种状况下的预料思路与方法大致相同。 首先依据数据计算出到期利润率，将每一个项目的利润率看成一个时间序列，对该序列的数据进行处理，可以得到一个具有平稳性、正态性和零均值的新时间序列。再计算该序列的自相关函数和偏相关函数，发觉该时间序列具有自相关函数截尾，偏自相关函数拖尾的特点，所以可认为该序列为一次滑动平均模型（简称MA(1)）。接着，用DPS数据处理系统软件中的一次滑动平均模型依次预料出各项目将来五年的投资利润率。对于风险损失率，我们用每组数据的标准差来衡量风险损失的大小，将预料出来的投资利润率加入到样本数据序列中，算出该组数据的标准差，用该值来衡量将来五年的风险损失率。详细答案见 问题三与问题一类似，也是优化的问题，其目标仍是第五年末的利润最大，而且也没有考虑风险问题，只是约束条件变更了。我们建立非线性规划模型，仍用Lingo解得大利润为620589.7万元。 问题四在问题三的基础上，考虑了预期风险损失率，建立了一个多目标规划模型三，求取投资最大收益额和最小损失额。由于模型三在我们现有基础上不易求解，我们又运用线性加权平均法的思想对投资利润和投资损失额进行加权平均建立了模型四。运用matlab软件进行计算，得出了最优解为314250.8万元。 问题五首先假设一部分资金存入银行获得利息，并向银行贷款进行其他项目投资，然后依据题四方法和思想，运用Lingo软件求得：当时，可得第五年总金额最大值：万,则第五年的最大利润万。 关键字：线性规划 时间序列 ARMA模型 LINGO MATLAB 1问题的重述 随着市场经济的快速发展，投资各个项目进行赢利，已是很多公司取得利润的的主要途径。但是这样的投资又存在着肯定的风险。不是每一次投资都能百分之百获得利润， 所以怎样缓解与解决赢利与风险之间的冲突，是每一个投资商及待解决的问题。本题就是要通过一个实例，建立数学模型，用数学的眼光来看待及解决这个问题。 题目给定了20亿作为将来5年的投资资金，而现在市场上给定的投资项目有8个： 项目1、项目2每年初投资，当年年末回收本利（本金和利润）；项目3、项目4每年初投资，要到其次年末才可回收本利；项目5、项目6每年初投资，要到第三年末才可回收本利；项目7只能在其次年年初投资，到第五年末回收本利；项目8只能在第三年年初投资，到第五年末回收本利。 1） 第一问要解决的问题是建立一个优化模型，在给出试验数据的前提下，如何支配20亿的投资资金使第五年末的所的的利润达到最大。 2） 给定8个项目近20年的投资额与到期利润的数据，同时还知道投资的各个项目之间还会出现相互影响的问题。详细的数据由题目附录给出。现在要解决的问题是依据往年的数据，预料今后五年各项目独立投资及项目之间相互影响下的投资的到期利润率、风险损失率。 3） 在问题2的基础上，现有两种状况： a. 对投资项目1，公司管理层争取到一笔资金捐赠，若在项目1中投资超过20000万，则同时可获得该笔投资金额的1%的捐赠，用于当年对各项目的投资。 b. 项目5的投资额固定，为500万，可重复投资。 (个项目的投资额上限见表4) 在这两种状况下，且依据问题2的结果，确定5年内如何支配20亿，使得第五年末所得利润最大。 4） 另外由实际可知，当投资越分散，也即投资的项目多，而且金额相对比较平均时，那么总的风险就越小。现规定：当用20亿投资若干种项目时，总的风险用所投资的项目中最大的一个风险来度量。在这种状况下，应当如何考虑风险问题？问题3中的投资又应当如何支配？ 5） 由于考虑风险问题，公司可以拿一部分资金存进银行，但是为了获得更大的利润，公司可以在银行贷款来投资，贷款的上限和利息可依据实际状况来确定。那么在这种状况下又应当如何支配5年的投资支配？ 2 背景分析 随着市场经济的不断发展和投融资体制改革的逐步深化,投资已成为推动我国经济发展不行缺少的动力，也是不少公司获得利润的主要途径。而现如今在投资问题中，收益和风险是一对主要冲突，怎样调整二者的冲突，使获得的收益最大，而相应的风险却最小，是各商家要解决的主要问题，在市场经济条件下，企业能否将资金投入到收入高，回收快，风险相对小的项目上去，对企业的生存和发展非常重要。 3模型的假设与符号说明 3.1模型的假设 a) 无交易费和投资费用等的费用开支； b) 在投资的5年时间内市场发展基本上是稳定的； c) 投资期间社会政策无较大变更； d) 公司的经济发展对投资无较大影响； e) 外界因素对投资的资产无较大影响。 资产投资是在市场中进行的,市场是困难多变的，是无法用数量或函数进行精确描述的,因此以上的假设是必要的。一般说来物价变更具有肯定的周期性，社会政策也并非每天变更，公司自身的发展在稳定的状况下才会用额外的资金进行较大的风险的投资。市场与社会的系统发展在一个时期内是良性的，稳定的,因此以上假设也是合理的。 . 3.2符号说明 符号说明见表1： 表1符号说明表 符号 说明 第五年末的利润 第年初的可用总资金，也就是第年末的可用总资金 第个项目的投资额上限 第年初对第个项目的投资额 模型一中第个项目的预料到期利润率 σ 收益的标准差 模型三中第I年第 j个项目的利润率 第 I年获得捐赠的资金数目 第I年第五个项目重复投资的次数 三个项目同时投资的利润率 两个项目同时投资的利润率 4 问题的分析与求解 4.1问题一的分析与求解 问题一的分析 该题是一个单目标的优化问题，其目标是在不考虑风险的状况下支配20亿的投资金，使得第五年末的利润z最大，也即总利润最大。将5年的对8个项目的投资利润累加起来就是要求的目标函数，要做的是如何支配5年的投资支配，每一年应当投资哪几个项目，每个项目的投资金额为多少。该决策受到两个条件的限制： 1） 各个投资项目的投资上限。在任一项目的运行期间，公司对该项目的投资总额不能超过该项目的投资上限。运行期的概念是从投资起先到回收本利的这