2024高考全国2卷文科数学带答案

绝密★启用前 2024年一般高等学校招生全国统一考试 文科数学 本试卷共23题，共150分，共4页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 留意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清晰，将条形码精确粘贴在条形码区域内。 2．选择题必需运用2B铅笔填涂；非选择题必需运用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清晰。 3．请依据题号依次在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．作图可先运用铅笔画出，确定后必需用黑色字迹的签字笔描黑。 5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准运用涂改液、修正带、刮纸刀。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1． A．B．C．D． 2．已知集合，则 A．B．C．D． 3．函数的图象大致为 4．已知向量，满意，，则 A．4B．3C．2D．0 5．从2名男同学和3名女同学中任选2人参与社区服务，则选中2人都是女同学的概率为 A．B．C．D． 6．双曲线的离心率为，则其渐近线方程为 A．B．C．D． 7．在中，，，，则 A．B．C．D． 8．为计算，设计了右侧的程序框图，则在空白框中应填入 A． B． C． D． 9．在长方体中，为棱的中点，则异面直线与所成角的正切值为 A．B．C．D． 10．若在是减函数，则的最大值是 A．B．C．D． 11．已知，是椭圆的两个焦点，是上的一点，若，且，则的离心率为 A．B．C．D． 12．已知是定义域为的奇函数，满意．若，则 A．B．0C．2D．50 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．曲线在点处的切线方程为__________． 14．若满意约束条件则的最大值为__________． 15．已知，则__________． 16．已知圆锥的顶点为，母线，相互垂直，与圆锥底面所成角为，若的面积为，则该圆锥的体积为__________． 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必需作答。第22、23为选考题。考生依据要求作答。 （一）必考题：共60分。 17．（12分） 记为等差数列的前项和，已知，． （1）求的通项公式； （2）求，并求的最小值． 18．（12分） 下图是某地区2000年至2024年环境基础设施投资额（单位：亿元）的折线图． 为了预料该地区2024年的环境基础设施投资额，建立了与时间变量的两个线性回来模型．依据2000年至2024年的数据（时间变量的值依次为）建立模型①：；依据2024年至2024年的数据（时间变量的值依次为）建立模型②：． （1）分别利用这两个模型，求该地区2024年的环境基础设施投资额的预料值； （2）你认为用哪个模型得到的预料值更牢靠？并说明理由． 19．（12分） 如图，在三棱锥中，， ，为的中点． （1）证明：平面； （2）若点在棱上，且，求点到平面的距离． 20．（12分） 设抛物线的焦点为，过且斜率为的直线与交于，两点，． （1）求的方程； （2）求过点，且与的准线相切的圆的方程． 21．（12分） 已知函数． （1）若，求的单调区间； （2）证明：只有一个零点． （二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。假如多做，则按所做的第一题计分。 22．[选修4－4：坐标系与参数方程]（10分） 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数）． （1）求和的直角坐标方程； （2）若曲线截直线所得线段的中点坐标为，求的斜率． 23．[选修4－5：不等式选讲]（10分） 设函数． （1）当时，求不等式的解集； （2）若，求的取值范围． 绝密★启用前 2024年一般高等学校招生全国统一考试 文科数学试题参考答案 一、选择题 1．D2．C3．B4．B5．D6．A 7．A8．B9．C10．C11．D12．C 二、填空题 13．y=2x–214．915．6．8π 三、解答题 17．解： （1）设{an}的公差为d，由题意得3a1+3d=–15． 由a1=–7得d=2． 所以{an}的通项公式为an=2n–9． （2）由（1）得Sn=n2–8n=（n–4）2–16． 所以当n=4时，Sn取得最小值，最小值为–16． 18．解： （1）利用模型①，该地区2024年的环境基础设施投资额的预料值为 =–30.4+13.5×19=226.1（亿元）． 利用模型②，该地区2024年的环境基础设施投资额的预料值为 =99+17.5×9=256.5（亿元）． （2）利用模型②得到的预料值更牢靠． 理由如下： （i）从折线图可以看出，2000年至2024年的数据对应的点没有随机散布在直线y=–30.4+13.5t上下，这说明利用2000年至2024年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的改变趋势．2024年相对2024年的环境基础设施投资额有明显增加，2024年至2024年的数据对应的点位于一条直线的旁边，这说明从2024年起先环境基础设施投资额的改变规律呈线性增长趋势，利用2024年至2024年的数据建立的线性模型=99+17.5t可以较好地描述2024年以后的环境基础设施投资额的改变趋势，因此利用模型②得到的预料值更牢靠． （ii）从计算结果看，相对于2024年的环境基础设施投资额220亿元，由模型①得到的预料值226.1亿元的增幅明显偏低，而利用模型②得到的预料值的增幅比较合理，说明利用模型②得到的预料值更牢靠． 以上给出了2种理由，考生答出其中随意一种或其他合理理由均可得分． 19．解： （1）因为AP=CP=AC=4，O为AC的中点，所以OP⊥AC，且OP=． 连结OB．因为AB=BC=，所以△ABC为等腰直角三角形，且OB⊥AC，OB==2． 由知，OP⊥OB． 由OP⊥OB，OP⊥AC知PO⊥平面ABC． （2）作CH⊥OM，垂足为H．又由（1）可得OP⊥CH，所以CH⊥平面POM． 故CH的长为点C到平面POM的距离． 由题设可知OC==2，CM==，∠ACB=45°． 所以OM=，CH==． 所以点C到平面POM的距离为． 20．解： （1）由题意得F（1，0），l的方程为y=k（x–1）（k>0）． 设A（x1，y1），B（x2，y2）． 由得． ，故． 所以． 由题设知，解得k=–1（舍去），k=1． 因此l的方程为y=x–1． （2）由（1）得AB的中点坐标为（3，2），所以AB的垂直平分线方程为，即． 设所求圆的圆心坐标为（x0，y0），则 解得或 因此所求圆的方程为 或． 21．解： （1）当a=3时，f（x）=，f ′（x）