2024高考全国2卷文科数学带答案

绝密★启用前 2024年一般高等学校招生全国统一考试 文科数学 本试卷共23题，共150分，共4页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 留意事项1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清晰，将条形码精确粘贴在条形码区域内。 2．选择题必需运用2B铅笔填涂；非选择题必需运用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清晰。 3．请依据题号依次在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．作图可先运用铅笔画出，确定后必需用黑色字迹的签字笔描黑。 5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准运用涂改液、修正带、刮纸刀。 一、选择题本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1． A．B．C．D． 2．已知集合，则 A．B．C．D． 3．函数的图象大致为 4．已知向量，满意，，则 A．4B．3C．2D．0 5．从2名男同学和3名女同学中任选2人参与社区服务，则选中2人都是女同学的概率为 A．B．C．D． 6．双曲线的离心率为，则其渐近线方程为 A．B．C．D． 7．在中，，，，则 A．B．C．D． 8．为计算，设计了右侧的程序框图，则在空白框中应填入 A． B． C． D． 9．在长方体中，为棱的中点，则异面直线与所成角的正切值为 A．B．C．D． 10．若在是减函数，则的最大值是 A．B．C．D． 11．已知，是椭圆的两个焦点，是上的一点，若，且，则的离心率为 A．B．C．D． 12．已知是定义域为的奇函数，满意．若，则 A．B．0C．2D．50 二、填空题本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．曲线在点处的切线方程为__________． 14．若满意约束条件则的最大值为__________． 15．已知，则__________． 16．已知圆锥的顶点为，母线，相互垂直，与圆锥底面所成角为，若的面积为，则该圆锥的体积为__________． 三、解答题共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必需作答。第22、23为选考题。考生依据要求作答。 （一）必考题共60分。 17．（12分） 记为等差数列的前项和，已知，． （1）求的通项公式； （2）求，并求的最小值． 18．（12分） 下图是某地区2000年至2024年环境基础设施投资额（单位亿元）的折线图． 为了预料该地区2024年的环境基础设施投资额，建立了与时间变量的两个线性回来模型．依据2000年至2024年的数据（时间变量的值依次为）建立模型①；依据2024年至2024年的数据（时间变量的值依次为）建立模型②． （1）分别利用这两个模型，求该地区2024年的环境基础设施投资额的预料值； （2）你认为用哪个模型得到的预料值更牢靠并说明理由． 19．（12分） 如图，在三棱锥中，， ，为的中点． （1）证明平面； （2）若点在棱上，且，求点到平面的距离． 20．（12分） 设抛物线的焦点为，过且斜率为的直线与交于，两点，． （1）求的方程； （2）求过点，且与的准线相切的圆的方程． 21．（12分） 已知函数． （1）若，求的单调区间； （2）证明只有一个零点． （二）选考题共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。假如多做，则按所做的第一题计分。 22．[选修4－4坐标系与参数方程]（10分） 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数）． （1）求和的直角坐标方程； （2）若曲线截直线所得线段的中点坐标为，求的斜率． 23．[选修4－5不等式选讲]（10分） 设函数． （1）当时，求不等式的解集； （2）若，求的取值范围． 绝密★启用前 2024年一般高等学校招生全国统一考试 文科数学试题参考答案 一、选择题 1．D2．C3．B4．B5．D6．A 7．A8．B9．C10．C11．D12．C 二、填空题 13．y2x–214．915．6．8π 三、解答题 17．解 （1）设{an}的公差为d，由题意得3a13d–15． 由a1–7得d2． 所以{an}的通项公式为an2n–9． （2）由（1）得Snn2–8n（n–4）2–16． 所以当n4时，Sn取得最小值，最小值为–16． 18．解 （1）利用模型①，该地区2024年的环境基础设施投资额的预料值为 –30.413.519226.1（亿元）． 利用模型②，该地区2024年的环境基础设施投资额的预料值为 9917.59256.5（亿元）． （2）利用模型②得到的预料值更牢靠． 理由如下 （i）从折线图可以看出，2000年至2024年的数据对应的点没有随机散布在直线y–30.413.5t上下，这说明利用2000年至2024年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的改变趋势．2024年相对2024年的环境基础设施投资额有明显增加，2024年至2024年的数据对应的点位于一条直线的旁边，这说明从2024年起先环境基础设施投资额的改变规律呈线性增长趋势，利用2024年至2024年的数据建立的线性模型9917.5t可以较好地描述2024年以后的环境基础设施投资额的改变趋势，因此利用模型②得到的预料值更牢靠． （ii）从计算结果看，相对于2024年的环境基础设施投资额220亿元，由模型①得到的预料值226.1亿元的增幅明显偏低，而利用模型②得到的预料值的增幅比较合理，说明利用模型②得到的预料值更牢靠． 以上给出了2种理由，考生答出其中随意一种或其他合理理由均可得分． 19．解 （1）因为APCPAC4，O为AC的中点，所以OP⊥AC，且OP． 连结OB．因为ABBC，所以△ABC为等腰直角三角形，且OB⊥AC，OB2． 由知，OP⊥OB． 由OP⊥OB，OP⊥AC知PO⊥平面ABC． （2）作CH⊥OM，垂足为H．又由（1）可得OP⊥CH，所以CH⊥平面POM． 故CH的长为点C到平面POM的距离． 由题设可知OC2，CM，∠ACB45． 所以OM，CH． 所以点C到平面POM的距离为． 20．解 （1）由题意得F（1，0），l的方程为yk（x–1）（k0）． 设A（x1，y1），B（x2，y2）． 由得． ，故． 所以． 由题设知，解得k–1（舍去），k1． 因此l的方程为yx–1． （2）由（1）得AB的中点坐标为（3，2），所以AB的垂直平分线方程为，即． 设所求圆的圆心坐标为（x0，y0），则 解得或 因此所求圆的方程为 或． 21．解 （1）当a3时，f（x），f ′（x）