基于不确定期权上的衍生债券的套期保值与定价研究.doc

附件C译文基于不确定波动率的衍生证券定价研究作者MARCOAVELLANEDA,ARNONLEVY,ANTONIOPARAS摘要本文提出了一个基于波动率不确定环境下对衍生资产和期权组合的定价模型，虽然对于波动率没有进行细致刻画，但文章假设波动率有上下界ΣMAX和ΣMIN。波动率的边界值可以通过估计在交易期权波动率极值获得，也可通过股票和期权历史数据来估计隐含波动率。上述波动率的估计方式可以用来估算未来波动率的置信区间。当波动率在所给的上下界区间变动时，衍生资产的无套利价格的极值可以用BSB非线性PDE来刻画。在这个方程式中，用于定价的波动率是根据定价函数的凹凸性从两个极值之间动态选择的。文章最后通过较简洁的有限差分法和三叉树法给出了BSB方程的数值解。这个模型抓住了资产管理中多样性的重要性，它可以被系统性的用于利用标的资产和其他衍生产品构建有效的套期保值组合。不确定波动率模型根据套利定价概念，如果市场上不存在套利机会，那一定存在一种关于未来环境的测度方式，因为在这种前提下任何资产的价值都是其现金流的折现（DUFFIE,1992）。这种测度方式被称作鞍测度（HARRISON和KREPS,1979）或者定价测度。合适的鞍测度取决于一个考虑到了所有可能发生的偶然事件的安全空间，但是，由于定价测度常常很难被准确计算，而且通常一个市场存在很多种定价策略1。将这些非唯一性的定价测度看作是反映那些存在于不确定市场环境的衍生资产价格的多样性是很有意义的。例如，期权价格不仅仅反映了市场关于标的资产的未来价值的预期，也投影出了未来波动率。由于这种投影随着市场对新信息的反应而变化，所以也暗示着波动率不可预期。在这些环境下，公平的期权价值和完美的套利模型就不能被准确的测定。期权交易中存在的所谓的“波动率风险”是一种由于市场的不确定性而存在的具体的实物。我们会在接下来的文章中介绍衍生资产在波动率不确定市场的环境下定价问题。为了达到这个目的，我们不准备将波动率假设为关于时间或价格的函数或者一个定值，而是假设波动率在一个范围内波动2。简单起见，我们将关于衍生资产的讨论限制在一种不付红利的在交易股票，且存在固定的无风险利率。这个基础假设归纳为“所有定价测度中的波动率轨迹都将被限制指导教师评定成绩五级制指导教师签字在区间内”。综上所述，我们假设未来股票价格的波动轨迹是ITO进程，如下ΣT和ΜT是无套利函数，而且Σ𝑚𝑖𝑛≤Σ𝑡≤Σ𝑚𝑎𝑥（2）ZT是布朗运动。ΣMIN和ΣMAX两个常量代表了波动率的上下极值，它们需要根据用户关于价格波动的不确定性的预期进行估值。这两个极值可以通过估计在交易期权波动率极值获得，也可通过股票和期权历史数据来估计。它们可以用于确定未来波动率变动的边界。如果有必要，ΣMIN和ΣMAX可以被模拟成为股票价格和时间的函数。（简单的说，我们假设ΣMIN和ΣMAX是独立于S的定值）。基于这些假设，我们可以获得拥有最佳价值的衍生证券组。我们同样可以在这样的环境下设置管理衍生资产的策略。假设时间T被给定，一种衍生证券拥有N年的未来现金流，T1≤T2≤≤TN𝐹1𝑆𝑡1,𝐹2𝑆𝑡2,𝐹3𝑆𝑡3,,𝐹𝑁𝑆𝑡𝑁（3）FJ（S）是标的资产价格的函数。我们需要找到这些现金流的“表面价值”。如果不存在套利机会，那么任何定价策略下的未来股票价格都可以满足修正的无风险的ITO方程式𝑑𝑆𝑡𝑆𝑡Σ𝑡𝑑𝑍𝑡𝑟𝑑𝑡（4）R是无风险利率（DUFFIE,1992）3。让我们以满足{ST,0≤T≤T}的一系列途径为基础，利用所有可能的方式进行检验，比如说（4）式中满足（2）式中的边界和无套利的一些ΣT。如果不存在套利机会而且我们假设波动率固定，那么这些衍生资产的价值必须在这个边界之间。𝑊𝑆𝑡,𝑡𝑆𝑢𝑝𝑝𝐸𝑃𝑡𝑁∑𝑗1𝑒‒𝑟𝑡𝑗‒𝑡𝐹𝑗𝑆𝑡𝑗（5）而且𝑊‒𝑆𝑡,𝑡𝐼𝑛𝑓𝑝𝐸𝑃𝑡𝑁∑𝑗1𝑒‒𝑟𝑡𝑗‒𝑡𝐹𝑗𝑆𝑡𝑗（6）这里，P包括P序列中所有方式，EPT是在T时刻P条件基础上的假设期望。我们的关键发现是这两个函数值都可以在解决动态方程式的局部方程式时获得，将（5）式和（6）式看成在波动率ΣT的随机控制问题KRYLOV,1980。因此，在一个数据完善的例子中，两个数值可以在解决最终价值问题中被获得。∂𝑊𝑆,𝑡∂𝑡𝑟𝑆∂𝑊𝑆,𝑡∂𝑆‒𝑊𝑆,𝑡12Σ2∂2𝑊𝑆,𝑡∂𝑆2𝑆2∂2𝑊𝑆,𝑡∂𝑆207𝑊（𝑆,𝑇）𝐹𝑆W在下式中获得Σ∂2𝑊∂𝑆2{Σ𝑚𝑎𝑥𝑖𝑓∂2𝑊∂𝑆2≥0Σ𝑚𝑖𝑛𝑖𝑓∂2𝑊∂𝑆2＜08在（7）中，W是如下方法得到Σ∂2𝑊∂𝑆2{Σ𝑚𝑎𝑥𝑖𝑓∂2𝑊∂𝑆2≤0Σ𝑚𝑖𝑛𝑖𝑓∂2𝑊∂𝑆2＞09多种方式下得到的结果是相似的。（7）式是第一个在W（S,TN）FNS和TN105的标准BS价格符合当期股票价格。这是由于遍历了暂时的和总体的ΣT平均值的概念。我们证实这种近似法获得的价格与通过平均静态股票价格和波动率计算出来的价格基本相同。ΣOFF的准确价值是02214。考虑到这个发现，我们假设一个规避风险者在6个月内使用ΣΣOFF的BS公式进行套期保值，而另一个使用BSB公式进行套期保值。Δ的调整定期发生，6个月内调整了100个点。在表4,5,和6中，我们通过使用（18）和（19）中的随机波动率对股票价格运用100000MONTECARLO仿真提出了多样的柱状图。这些结果表明BSB套期保值方式对比于固定波动率的理想案例的BS策略在波动率随机的环境下提供了更强大的灾难保护。图4直方图代表了一个代理商使用Δ套期保值对图1/表1中的买权使用BSB进行衡量可能的利益或损失。波动率区间ΣMIN01ΣTΣMAX04是一个置信与90到96的区间。0左边的表示损失。图5与图4一样，这里是基于一个代理商使用波动率为02214时的BS方程式对买权进行套期保值。注意到损失的可能性，表示在0的左边，是很有意义的。垂直的点线表达了一个使用了BSB中最高价格的代理商的不营业点。图6与图5相似，使用固定波动率02214进行价格判断。这里的图形比图5更紧凑，0左边的尾巴与图4相似。这个表明不确定波动率环境下的BSB套期和固定环境下的BS套期提供相似程度的保护程度。使用衍生品去绑定波动率风险不确定的波动率模型可以被用作构建集合标的股票和其它在交易衍生品的套期保值组合。考虑一个案例一个代理商希望向顾客提供衍生证券Φ并且利用衍生资产Ψ或者S控制顾客的风险，S是我们假设的可以在市场上以价格G进行购买的8。如果一个代理商购买Λ单位衍生品对短期头寸进行套期保值，对剩余的资产实行Δ套期保值，建立套期保值组合的代价包括由于“Φ”和“Ψ”之间的不匹配引起的风险的附加值，最大可能到达Λ𝐺𝑆𝑢𝑝𝑝𝐸𝑝𝑡Φ‒ΛΨ20第二部分可以使用BSB方程式进行计算。为了找到这种策略的最优构造，我们必须解决最小值问题𝐼𝑛𝑓Λ{Λ𝐺𝑆𝑢𝑝𝑝𝐸Φ‒ΛΨ}21相似的，一个持有Φ并想提升他自己的投资组合价值的代理商需要解决最大值