中考数学旋转的综合专项训练及答案
一、旋转一、旋转 真题与模拟题分类汇编(难题易错题)真题与模拟题分类汇编(难题易错题) 1.(1)发现:如图 1,点 A 为线段 BC 外一动点,且 BC=a,AB=b.填空: 当点 A 位于时,线段 AC 的长取得最大值,且最大值为(用含 a,b 的式子表示) (2)应用:点 A 为线段 BC 外一动点,且 BC=4,AB=1,如图 2 所示,分别以 AB,AC 为 边,作等边三角形 ABD 和等边三角形 ACE,连接 CD,BE. ①请找出图中与 BE 相等的线段,并说明理由;②直接写出线段 BE 长的最大值. (3)拓展:如图 3,在平面直角坐标系中,点A 的坐标为(2,0),点 B 的坐标为(6,0),点 P 为线段 AB 外一动点,且 PA=2,PM=PB,∠ BPM=90°,请直接写出线段 AM 长的最大值 及此时点 P 的坐标. 【答案】(1)CB 的延长线上, a+b;(2)①CD=BE,理由见解析;②BE 长的最大值为 5;(3) 满足条件的点 P 坐标(2﹣2,2)或(2﹣2,﹣2),AM 的最大值为 22+4. 【解析】 【分析】 (1)根据点 A 位于 CB 的延长线上时,线段 AC 的长取得最大值,即可得到结论;(2) ①根据已知条件易证△ CAD≌ △ EAB,根据全等三角形的性质即可得CD=BE;②由于线段 BE 长的最大值=线段 CD 的最大值,根据(1)中的结论即可得到结果;(3)连接 BM, 将△ APM 绕着点 P 顺时针旋转 90°得到△ PBN,连接 AN,得到△ APN 是等腰直角三角形, 根据全等三角形的性质得到PN=PA=2,BN=AM,根据当 N 在线段 BA 的延长线时,线段 BN 取得最大值,即可得到最大值为22+4;如图 2,过 P 作 PE⊥x 轴于 E,根据等腰直角 三角形的性质即可求得点P 的坐标.如图 3 中,根据对称性可知当点P 在第四象限时也满 足条件,由此求得符合条件的点P 另一个的坐标. 【详解】 (1)∵ 点 A 为线段 BC 外一动点,且 BC=a,AB=b, ∴ 当点 A 位于 CB 的延长线上时,线段 AC 的长取得最大值,且最大值为BC+AB=a+b, 故答案为 CB 的延长线上,a+b; (2)①CD=BE, 理由:∵ △ ABD 与△ ACE 是等边三角形, ∴ AD=AB,AC=AE,∠ BAD=∠ CAE=60°, ∴ ∠ BAD+∠ BAC=∠ CAE+∠ BAC, 即∠ CAD=∠ EAB, AD AB 在△ CAD 与△ EAB 中,CAD EAB, AC AE ∴ △ CAD≌ △ EAB(SAS), ∴ CD=BE; ②∵ 线段 BE 长的最大值=线段 CD 的最大值, 由(1)知,当线段 CD 的长取得最大值时,点 D 在 CB 的延长线上, ∴ 最大值为 BD+BC=AB+BC=5; (3)如图 1, ∵ 将△ APM 绕着点 P 顺时针旋转 90°得到△ PBN,连接 AN, 则△ APN 是等腰直角三角形, ∴ PN=PA=2,BN=AM, ∵ A 的坐标为(2,0),点 B 的坐标为(6,0), ∴ OA=2,OB=6, ∴ AB=4, ∴ 线段 AM 长的最大值=线段 BN 长的最大值, ∴ 当 N 在线段 BA 的延长线时,线段 BN 取得最大值, 最大值=AB+AN, ∵ AN= 2AP=22, ∴ 最大值为 2 2+4; 如图 2, 过 P 作 PE⊥x 轴于 E, ∵ △ APN 是等腰直角三角形, ∴ PE=AE= 2, ∴ OE=BO﹣AB﹣AE=6﹣4﹣ 2=2﹣2, ∴ P(2﹣ 2,2). 如图 3 中, 根据对称性可知当点 P 在第四象限时,P(2﹣2,﹣2)时,也满足条件. 综上所述,满足条件的点P 坐标(2﹣2,2)或(2﹣2,﹣2),AM 的最大值为 22+4. 【点睛】 本题综合考查了全等三角形的判定和性质,等腰直角三角形的性质,最大值问题,旋转的 性质.正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键. 2.如图:在△ ABC 中,∠ ACB=90°,AC=BC,∠ PCQ=45°,把∠ PCQ 绕点 C 旋转,在整个旋 转过程中,过点 A 作 AD⊥CP,垂足为 D,直线 AD 交 CQ 于 E. (1)如图①,当∠ PCQ 在∠ ACB 内部时,求证:AD+BE=DE; (2)如图②,当 CQ 在∠ ACB 外部时,则线段 AD、BE 与 DE 的关系为_____; (3)在(1)的条件下,若 CD=6,S△ BCE=2S△ ACD,求 AE 的长. 【答案】(1)见解析 (2)AD=BE+DE(3)8 【解析】 试题分析:(1)延长 DA 到 F,使 DF=DE,根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距 离相等可得 CE=CF,再求出∠ ACF=∠ BCE,然后利用“边角边”证明△ ACF 和△ BCE 全等,根 据全等三角形的即可证明AF=BE,从而得证; (2)在 AD 上截取 DF=DE,然后根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得 CE=CF,再求出∠ ACF=∠ BCE,然后利用“边角边”证明△ ACF 和△ BCE 全等,根据全等三角形 的即可证明 AF=BE,从而得到 AD=BE+DE; (3)根据等腰直角三角形的性质求出CD=DF=DE,再根据等高的三角形的面积的比等于底 边的比求出 AF=2AD,然后求出 AD 的长,再根据 AE=AD+DE 代入数据进行计算即可得解. 试题解析:(1)证明:如图①,延长 DA 到 F,使 DF=DE.∵ CD⊥AE,∴ CE=CF, ∴ ∠ DCE=∠ DCF=∠ PCQ=45°,∴ ∠ ACD+∠ ACF=∠ DCF=45°.又∵ ∠ ACB=90°,∠ PCQ=45°, ∴ ∠ ACD+∠ BCE=90°﹣45°=45°,∴ ∠ ACF=∠ BCE.在△ ACF 和△ BCE 中, CE CF ∵ ACF BCE,∴ △ ACF≌ △ BCE(SAS),∴ AF=BE,∴ AD+BE=AD+AF=DF=DE,即 AC BC AD+BE=DE; (2)解:如图②,在 AD 上截取 DF=DE.∵ CD⊥AE,∴ CE=CF, ∴ ∠ DCE=∠ DCF=∠ PCQ=45°,∴ ∠ ECF=∠ DCE+∠ DCF=90°,∴ ∠ BCE+∠ BCF=∠ ECF=90°.又 ∵ ∠ ACB=90°,∴ ∠ ACF+∠ BCF=90°,∴ ∠ ACF=∠ BCE.在△ ACF 和△ BCE 中, CE CF ∵ ACF BCE,∴ △ ACF≌ △ BCE(SAS),∴ AF=BE,∴ AD=AF+DF=BE+DE,即 AC BC AD=BE+DE; 故答案为:AD=BE+DE. (3)∵ ∠ DCE=∠ DCF=∠ PCQ=45°,∴ ∠ ECF=45°+45°=90°,∴ △ ECF 是等腰直角三角形, ∴ CD=DF=DE=6.∵ S△ BCE=2S△ ACD,∴ AF=2AD,∴ AD= 1