正余弦定理

第 4 讲 正、余弦定理及解三角形 考纲展示 命题探究 考点一 正、余弦定理 1 正、余弦定理 定理 正弦定理 余弦定理 内容 a sinA＝ b sinB＝ c sinC＝2R (其中R是△ABC外接圆的半径) a2＝b2＋c2－2bccosA； b2＝a2＋c2－2accosB； c2＝a2＋b2－2abcosC 变形 形式 a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝ 2RsinC；sinA＝ a 2R，sinB＝ b 2R， sinC＝ c 2R； a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC； asinB＝bsinA，bsinC＝csinB， asinC＝csinA； a＋b＋c sinA＋sinB＋sinC＝2R cosA＝b 2＋c2－a2 2bc ； cosB＝a 2＋c2－b2 2ac ； cosC＝a 2＋b2－c2 2ab 2 利用正、余弦定理解三角形 (1)已知两角一边，用正弦定理，只有一解． (2)已知两边及一边的对角，用正弦定理，有解的情况可分为几 种情况． 在△ABC 中，已知 a，b 和角 A 时，解的情况如下： A 为锐角 A 为钝角或直角 图形 关系式 a＝bsinA bsinAB.( ) (6)若满足条件 C＝60°，AB＝ 3，BC＝a 的△ABC 有两个，那么 a 的取值范围是( 3，2)．( ) 3． 在△ABC 中， A＝60°， AC＝2， BC＝ 3， 则 AB 等于________． [考法综述] 正、余弦定理是每年高考的必考内容，客观题 与解答题均可出现．客观题以正、余弦定理的简单应用为主，解三角 形、判断三角形的形状，而解答题常与三角恒等变换相结合，属于解 答题中的中低档题型，难度一般不会太大． 命题法 利用正余弦定理解三角形或判断其形状 典例 (1)设△ABC 的内角 A，B，C 所对边的长分别为 a，b， c.若 b＋c＝2a,3sinA＝5sinB，则角 C＝( ) A.π 3 B.2π 3 C.3π 4 D.5π 6 (2)在△ABC 中， cos2B 2＝ a＋c 2c (a， b， c 分别为角 A， B， C 的对边)， 则△ABC 的形状为( ) A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形 【解题法】 1.解三角形的常见题型及求解方法 (1)已知两角 A， B 与一边 a， 由 A＋B＋C＝π 及 a sinA＝ b sinB＝ c sinC， 可先求出角 C 及 b，再求出 c. (2)已知两边 b，c 及其夹角 A，由 a2＝b2＋c2－2bccosA，先求出 a，再求出角 B，C. (3)已知三边 a，b，c，由余弦定理可求出角 A，B，C. (4)已知两边 a， b 及其中一边的对角 A， 由正弦定理 a sinA＝ b sinB可 求出另一边 b 的对角 B，由 C＝π－(A＋B)，可求出角 C，再由 a sinA＝ c sinC可求出 c，而通过 a sinA＝ b sinB求角 B 时，可能有一解或两解或无 解的情况． 2．利用正、余弦定理判定三角形形状 三角形中常见的结论 (1)A＋B＋C＝π. (2)在三角形中大边对大角，反之亦然． (3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． (4)三角形内的诱导公式： sin(A＋B)＝sinC；cos(A＋B)＝－cosC； tan(A＋B)＝－tanC；sinA＋B 2 ＝cosC 2 ； cosA＋B 2 ＝sinC 2. (5)在△ABC 中，tanA＋tanB＋tanC＝tanA·tanB·tanC. (6)△ABC 中，A，B，C 成等差数列的充要条件是 B＝60°. (7)△ABC 为正三角形的充要条件是 A，B，C 成等差数列且 a，b， c 成等比数列． 1．在△ABC 中，若 sin2A＋sin2B8 B．ab(a＋b)16 2 C．6≤abc≤12 D．12≤abc≤24 3．设△ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 C＝π 3， a＋b＝λ，若△ABC 面积的最大值为 9 3，则 λ 的值为( ) A．8 B．12 4.如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到 A 处时测 得公路北侧一山顶D在西偏北 30°的方向上， 行驶 600 m后到达 B处， 测得此山顶在西偏北 75°的方向上，仰角为 30°，则此山的高度 CD＝ ________m. 6．已知 a，b，c 分别为△ABC 三个内角 A，B，C 的对边，若 cosB＝4 5， a＝10， △ABC 的面积为 42， 则 b＋ a sinA的值等于________． 7．甲船在 A 处观察乙船，乙船在它的北偏东 60°的方向，两船 相距 a 海里的 B 处，乙船正向北行驶，若甲船是乙船速度的 3倍， 甲船为了尽快追上乙船，则应取北偏东________(填角度)的方向前 进． 8．在△ABC 中，已知 AB＝2，AC＝3，A＝60°. (1)求 BC 的长； (2)求 sin2C 的值． 9.设△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，a＝btanA， 且 B 为钝角． (1)证明：B－A＝π 2； (2)求 sinA＋sinC 的取值范围． 10．在△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，已 知 A＝π 4，b2－a2＝ 1 2c2. (1)求 tanC 的值； (2)若△ABC 的面积为 3，求 b 的值． 11.△ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.向量 m＝(a， 3b)与 n＝(cosA，sinB)平行． (1)求 A； (2)若 a＝ 7，b＝2，求△ABC 的面积． 12. 如图，在△ABC 中，∠B＝π 3，AB＝8，点 D 在 BC 边上，且 CD ＝2，cos∠ADC＝1 7. (1)求 sin∠BAD； (2)求 BD，AC 的长． 13．设△ABC 的内角 A，B，C 所对边的长分别是 a，b，c，且 b ＝3，c＝1，A＝2B. (1)求 a 的值； (2)求 sin     A＋π 4 的值． 14．在△ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 ac. 已知BA → ·BC → ＝2，cosB＝1 3，b＝3.求： (1)a 和 c 的值； (2)cos(B－C)的值． 在△ABC 中，若(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)·sin(A＋B)，试判 断△ABC 的形状． [错解] ……………………………………………… ……………………………………………… 时间：60 分钟 基础组 1.[2016·武邑中学月考]在△ABC 中，若 a＝2b，面积记作 S，则 下列结论中一定成立的是( ) A．B30° B．A＝2B C．c1)． (1)若 λ＝ 3时，证明△ABC 为直角三角形； (2)若AC → ·BC → ＝9 8λ2，且 c＝3，求 λ 的值． 能力组 13.[2016·衡水二中模拟]已知△ABC 的三边长为 a，b，c，且面积 S △ABC＝ 1 4(b2＋c2－a2)，则 A＝(