专题训练一平行四边形的证明思路

专题训练专题训练( (一一) )平行四边形的证明思路平行四边形的证明思路 班别班别姓名姓名 【题型【题型 1 1】】若已知条件出现在四边形的边上，若已知条件出现在四边形的边上，则应考则应考虑：虑： ①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；①两组对边分别平行的四边形是平行四边形； ②两组对边分别相等的四边形是平②两组对边分别相等的四边形是平 行四边形；行四边形； ③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 1 1．如图，在▱ABCD 中，点 E 在 AB 的延长线上，且 EC∥BD. 求证：四边形 BECD 是平行四边形． 2 2．如图，在▱ABCD 中，点E，F 分别在边 AB，CD 上，BE＝DF.求证：四边形AECF是平行 四边形． 3 3．如图，在 ABCD 中，分别以 AD，BC 为边向内作等边△ADE 和等边△BCF，连接 BE， DF.求证：四边形 BEDF 是平行四边形． 4 4．如图，DE 是△ABC 的中位线，延长 DE 到 F，使 EF＝DE，连接 BF. (1)求证：BF＝DC； (2)求证：四边形 ABFD 是平行四边形． 【题型【题型 2 2】】若已知条件出现在四边形的角上，则应考虑利用“两组对角分别相等的四若已知条件出现在四边形的角上，则应考虑利用“两组对角分别相等的四 边形是平行四边形”来证明边形是平行四边形”来证明 5 5．如图，在四边形 ABCD 中，AD∥BC，∠A＝∠C.求证：四边形 ABCD 是平行四边形． 【题型【题型 3 3】】若已知条件出现在对角线上，则应考虑利用若已知条件出现在对角线上，则应考虑利用““对角线互相平分的四边形是对角线互相平分的四边形是 平行四边形平行四边形””来证明来证明 6 6．已知：如图，在四边形ABCD 中，AB∥CD，E 是 BC 的中点，直线AE 交 DC 的延长线于 点 F.求证：四边形 ABFC 为平行四边形． 7 7．如图，▱ABCD 的对角线相交于点 O，直线 EF 经过点 O，分别与 AB，CD 的延长线交于 点 E，F.求证：四边形 AECF 是平行四边形． 8 8．如图，▱ABCD 中，对角线AC，BD 相交于点 O，点 E，F 分别是 OB，OD 的中点．求证： 四边形 AECF 是平行四边形． 专题训练专题训练( (四四) )平行四边形的证明思路平行四边形的证明思路 类型类型 1 1若已知条件出现在四边形的边上，若已知条件出现在四边形的边上，则应考则应考虑：虑： ①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；①两组对边分别平行的四边形是平行四边形； ②两组对边分别相等的四边形是平②两组对边分别相等的四边形是平 行四边形；行四边形； ③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 1 1．如图，在▱ABCD 中，点 E 在 AB 的延长线上，且 EC∥BD.求证：四边形 BECD 是平行四 边形． 证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AB∥CD，即 BE∥CD. 又∵EC∥BD， ∴四边形 BECD 是平行四边形． 2 2．如图，在▱ABCD 中，点E，F 分别在边 AB，CD 上，BE＝DF.求证：四边形AECF是平行 四边形． 证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AB∥CD，AB＝CD. ∵BE＝DF， ∴AB－BE＝CD－DF，即 AE＝CF. 又∵AE∥CF， ∴四边形 AECF 是平行四边形． 3 3．如图，在 ABCD 中，分别以 AD，BC 为边向内作等边△ADE 和等边△BCF，连接 BE， DF.求证：四边形 BEDF 是平行四边形． 证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴CD＝AB，AD＝CB，∠DAB＝∠BCD. 又∵△ADE 和△BCF 都是等边三角形， ∴DE ＝AD＝AE，CF＝BF＝BC，∠DAE＝∠BCF＝60°. ∴BF＝DE ， CF＝AE ， ∠DCF＝∠BCD－∠BCF ， ∠BAE＝∠DAB－∠DAE ， 即∠DCF＝∠BAE. 在△DCF 和△BAE 中， CD＝AB， ∠DCF＝∠BAE， CF＝AE， ∴△DCF≌△BAE(SAS)． ∴DF＝BE. ∴四边形 BEDF 是平行四边形． 4 4．(钦州中考)如图，DE 是△ABC 的中位线，延长 DE 到 F，使 EF＝DE，连接 BF. (1)求证：BF＝DC； (2)求证：四边形 ABFD 是平行四边形． 证明：(1)∵DE 是△ABC 的中位线， ∴CE＝BE. 在△DEC 和△FEB 中， CE＝BE， ∠CED＝∠BEF， DE＝FE， ∴△DEC≌△FEB. ∴BF＝DC.(SAS) (2)∵DE 是△ABC 的中位线， 1 ∴DE∥AB，且 DE＝ AB. 2 又∵EF＝DE， 1 ∴DE＝ DF. 2 ∴DF＝AB. ∴四边形 ABFD 是平行四边形． 类型类型 2 2若已知条件出现在四边形的角上，则应考虑利用“两组对角分别相等的四边形若已知条件出现在四边形的角上，则应考虑利用“两组对角分别相等的四边形 是平行四边形”来证明是平行四边形”来证明 5 5．如图，在四边形 ABCD 中，AD∥BC，∠A＝∠C.求证：四边形 ABCD 是平行四边形． 证明：∵AD∥BC， ∴∠A＋∠B＝180°， ∠C＋∠D＝180°. ∵∠A＝∠C， ∴∠B＝∠D. ∴四边形 ABCD 是平行四边形． 类型类型3 3若已知条件出现在对角线上，则应考虑利用若已知条件出现在对角线上，则应考虑利用““对角线互相平分的四边形是平对角线互相平分的四边形是平行行 四边形四边形””来证明来证明 6 6．已知：如图，在四边形ABCD 中，AB∥CD，E 是 BC 的中点，直线AE 交 DC 的延长线于 点 F.求证：四边形 ABFC 为平行四边形． 证明：∵AB∥CD， ∴∠BAE＝∠CFE. ∵E 是 BC 的中点， ∴BE＝CE. 在△ABE 和△FCE 中， ∠BAE＝∠CFE， ∠AEB＝∠FEC， BE＝CE， ∴△ABE≌△FCE(AAS)． ∴AE＝EF. 又∵BE＝CE， ∴四边形 ABFC 是平行四边形． 7 7．如图，▱ABCD 的对角线相交于点 O，直线 EF 经过点 O，分别与 AB，CD 的延长线交于 点 E，F.求证：四边形 AECF 是平行四边形． 证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴OD＝OB，OA＝OC，AB∥CD. ∴∠DFO＝∠BEO，∠FDO＝∠EBO. ∴△FDO≌△EBO.(AAS) ∴OF＝OE. ∴四边形 AECF 是平行四边形． 8 8．如图，▱ABCD 中，对角线AC，BD 相交于点 O，点 E，F 分别是 OB，OD 的中点．求证： 四边形 AECF 是平行四边形． 证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴OA＝OC，OB＝OD. ∵点 E，F 分别是 OB，OD 的中点， 11 ∴OE＝ OB，OF＝ OD. 22 ∴OE＝OF. ∴四边形 AECF 是平行四边形．