不定积分计方法

第一讲第一讲定积分的概念定积分的概念 教学目的：掌握定积分的有关概念和基本性质教学目的：掌握定积分的有关概念和基本性质 难难点：无限细分和累积的思维方法点：无限细分和累积的思维方法 重重点：微元法思想和定积分的基本性质点：微元法思想和定积分的基本性质 教学内容：教学内容： 定积分是微积分学的重要内容之一， 它和上一章讨论的不定积分有着密切的内在联 系，并且，定积分的计算主要是通过不定积分来解决的. 定积分在各种实际问题中有着 广泛的应用．在本章中，我们将在具体实例的基础上引入定积分的概念，然后讨论它的 性质、计算方法与应用． 一、问题的提出一、问题的提出 1 1、曲边梯形的面积、曲边梯形的面积 在初等数学中，我们学习了一些简单的平面封闭图形 (如三角形、圆等)的面积的计 算. 但实际问题中出现的图形常具有不规则的 “曲边” ， 我们怎样来计算它们的面积呢？ 下面以曲边梯形为例来讨论这个问题. 设函数y  f (x)在[a,b]上连续. 由曲 线y  f (x)与直线x  a、x  b、x轴所围 成的图形称为曲边梯形 (如图). 为讨论方 便，假定f (x)  0. 由于函数y  f (x)上的点的纵坐标不 12 y y=f(x) 断变化，整个曲边梯形各处的高不相等， 差异很大. 为使高的变化较小，先将区间 [a,b]分成n个小区间，即插入分点. in O a=x0 x1x2xi-1xixn-1 xn=b x a  x 0  x 1  x 2  x n  b 在每个分点处作与y轴平行的直线段，将整个曲边梯形分成n个小曲边梯形，其中 第i个小区间的长度为xix i  x i1 ,i 1,2,,n. 由于f (x)连续， 故当x i 很小时， 第i个 小曲边梯形各点的高变化很小. 在区间[x i1 ,x i ]上任取一点 i ，则可认为第i个小曲边梯 形的平均高度为f ( i )，因此, 这个小曲边梯形的面积A i  f ( i )x i . 用这样的方法求出每个小曲边梯形面积的近似值, 再求和, 即得整个大曲边梯形面 积的近似值AA i f ( i )x i . i1i1 nn 可以看出：对区间[a,b]所作的分划越细，上式右端的和式就越接近A. 记  max{x i }，则当0时，误差也趋于零. 因此，所求面积 1in A limf ( i )x i .(1) 0 i1 n 2、变速直线运动的路程 设物体作直线运动，速度v(t)是时间t的连续函数，且v(t)  0. 求物体在时间间隔 [a,b]内所经过的路程s. 由于速度v(t)随时间的变化而变化，因此不能用匀速直线运动的公式 路程＝速度时间 来计算物体作变速运动的路程. 但由于v(t)连续，当t的变化很小时，速度的变化也非常 小，因此在很小的一段时间内，变速运动可以近似看成等速运动. 又时间区间[a,b]可以 划分为若干个微小的时间区间之和，所以，可以与前述面积问题一样，采用分划、局部 近似、求和、取极限的方法来求变速直线运动的路程. (1) 分割：用分点a  t 0  t 1  t 2  t n  b将时间区间[a,b]分成n个小区间[t i1 ,t i ] (i 1,2,n), 其中第i个时间段的长度为t i  t i t i1 ，物体在此时间段内经过的路程为 s i . (2) 求近似：当t i 很小时，在[t i1 ,t i ]上任取一点 i ，以v( i )来替代[t i1 ,t i ]上各时 刻的速度，则s i  v( i )t i . (3) 求和：在每个小区间上用同样的方法求得路程的近似值，再求和，得 s s i v( i )t i . i1i1 nn (4) 取极限：令 max{t i }，则当0时，上式右端的和式作为s近似值的误差 1in 会趋于 0，因此s  limv( i )t i .(2) 0 i1 n 以上两个例子尽管来自不同领域，却都归结为求同一结构的和式的极限. 我们以后 还将看到，在求变力所作的功、水压力、某些空间体的体积等许多问题中，都会出现这 种形式的极限，因此，有必要在数学上统一对它们进行研究． 二、定积分的定义二、定积分的定义 定义定义设函数f (x)在区间[a,b]上有定义，任意用分点 a  x 0  x 1  x 2  x n  b 将[a,b]分成n个小区间，用x i  x i  x i1 表示第i个小区间的长度，在[x i1 ,x i ]上任取一 点 i ，作乘积f ( i )x i ，i 1,2,,n. 再作和  f ()x i i1 n i . 若当 max{x i }0时，上式的极限存在，则称函数f (x)在区间[a,b]上可积，并称此 1in 极限值为f (x)在[a,b]上的定积分，记作f (x)dx. 即 a b b a f (x)dx  limf ( i )x i .(3) 0 i1 n 其中f (x)称为被积函数，f (x)dx称为被积表达式，x称为积分变量，[a,b]称为积 分区间，a,b分别称为积分下限和上限. 许多实际问题都可用定积分表示. 例如，若变速直线运动的速度为v(t)，则在时间 区间[a,b]上，物体经过的路程为s v(t)dt.(4) a b 同理，上图所示的曲边梯形面积可表为 A f (x)dx(5) a b 对于由(3)式定义的定积分，需作如下几点说明： 1、f (x)在[a,b]可积，是指不管对区间分划的方式怎样，也不管点 i 在小区间 [x i1 ,x i ]上如何选取，只要0，极限值总是唯一确定的. 哪些函数是可积的呢？可以证明（证明略） ： 定理在闭区间[a,b]上连续的函数必在[a,b]上可积；在区间[a,b]上有界且只有有 限个间断点的函数也必在[a,b]上可积. 2、定积分是一个数，只取决于被积函数与积分区间，而与积分变量的记号无关， 即 b a f (x)dx f (u)du f (t)dt． aa bb 此等式的正确性在几何上是显然，因为对非负函数f，这三个积分表示同一个平面图形 的面积，只是坐标变量的记号不同而已，而这对面积没有影响. 3、定义定积分时已假定下限a小于上限b，为便于应用，规定当b  a时， b a f (x)dx  f (x)dx． b a a a f (x)dx  0． 此规定说明：将积分上下限互换时，应改变积分的符号． 4、下面讨论定积分的几何意义： （1） 、若f (x)  0，则积分f (x)dx表示如图所示的曲边梯形的面积，即 a b  b a b a f (x)dx  A． （2） 、若f (x)  0，则积分f (x)dx表示如图所示的曲边梯形面积的负值，即 b a f (x)dx  A． y y y=f(x) O ab O x ab y=f