机械能守恒题型

王秋祥教案——机械能精讲 1 机械能守恒题型 由两个或两个以上的物体所构成的系统，其机械能是否守恒，就看除了重力、弹力之 外，系统内的各个物体所受到的各个力做功之和是否为零，为零，则系统的机械能守恒； 做正功，系统的机械能就增加，做做多少正功，系统的机械能就增加多少；做负功，系统 的机械能就减少，做多少负功，系统的机械能就减少多少。 系统间的相互作用力分为三类： 1） 刚体产生的弹力：比如轻绳的弹力，斜面的弹力，轻杆产生的弹力等 2） 弹簧产生的弹力： 系统中包括有弹簧， 弹簧的弹力在整个过程中做功， 弹性势能参与机械能的转换。 3） 其它力做功：比如炸药爆炸产生的冲击力，摩擦力对系统对功等。 在前两种情况中，轻绳的拉力，斜面的弹力，轻杆产生的弹力做功，使机械能在相 互作用的两物体间进行等量的转移， 系统的机械能还是守恒的。 虽然弹簧的弹力也做功， 但包括弹性势能在内的机械能也守恒。但在第三种情况下，由于其它形式的能参与了机 械能的转换，系统的机械能就不再守恒了。 （1）轻绳连体类 这一类题目，系统除重力以外的其它力对系统不做功，系统内部的相互作用力是轻 绳的拉力， 而拉力只是使系统内部的机械能在相互作用的两个物体之间进行等量的转换， 并没有其它形式的能参与机械能的转换，所以系统的机械能守恒。 例：如图，倾角为的光滑斜面上有一质量为 M 的物体，通过一 根跨过定滑轮的细绳与质量为 m 的物体相连，开始时两物体均处于 静止状态，且 m 离地面的高度为 h，求它们开始运动后 m 着地时的 速度？ 分析：对 M、m 和细绳所构成的系统，受到外界四个力的作用。它们分别是：M 所 受的重力 Mg，m 所受的重力 mg，斜面对 M 的支持力 N，滑轮对细绳的作用力 F。 M、m 的重力做功不会改变系统的机械能，支持力 N 垂直于 M 的运动方向对系统 不做功，滑轮对细绳的作用力由于作用点没有位移也对系统不做功，所以满足系统机械 能守恒的外部条件，系统内部的相互作用力是细绳的拉力，拉力做功只能使机械能在系 统内部进行等量的转换也不会改变系统的机械能，故满足系统机械能守恒的外部条件。 在能量转化中，m 的重力势能减小，动能增加，M 的重力势能和动能都增加，用机 王秋祥教案——机械能精讲 2 械能的减少量等于增加量是解决为一类题的关键 22 2 1 2 1 sinmvMvMghmgh 可得 mM Mmgh v    )sin(2 需要提醒的是，这一类的题目往往需要利用绳连物体的速度关 系来确定两个物体的速度关系 拓展（1）：如图，光滑斜面的倾角为，竖直的光滑细杆到定 滑轮的距离为 a，斜面上的物体 M 和穿过细杆的 m 通过跨过定滑轮的轻绳相连，开始 保持两物体静止，连接 m 的轻绳处于水平状态，放手后两物体从静止开始运动，求 m 下降 b 时两物体的速度大小？ （2）轻杆连体类 这一类题目，系统除重力以外的其它力对系统不做功，物体的重力做功不会改变系 统的机械能，系统内部的相互作用力是轻杆的弹力，而弹力只是使系统内部的机械能在 相互作用的两个物体之间进行等量的转换，并没有其它形式的能参与机械能的转换，所 以系统的机械能守恒。 例：如图，质量均为 m 的两个小球固定在轻杆的端，轻杆可绕水平转轴在竖直平 面内自由转动，两小球到轴的距离分别为 L、2L，开始杆处于水平静止状态，放手后两 球开始运动，求杆转动到竖直状态时，两球的速度大小 分析： 由轻杆和两个小球所构成的系统受到外界三个力的作用， 即 A 球受到的重力、 B 球受到的重力、轴对杆的作用力。 两球受到的重力做功不会改变系统的机械能，轴对杆的作 用力由于作用点没有位移而对系统不做功，所以满足系统机械能守恒的外部条件，系统 内部的相互作用力是轻杆的弹力，弹力对 A 球做负功，对 B 球做正功，但这种做功只是 使机械能在系统内部进行等量的转换也不会改变系统的机械能， 故满足系统机械能守恒 的外部条件。 在整个机械能当中，只有 A 的重力势能减小，A 球的动能以及 B 球的动能和重力势 能都增加，我们让减少的机械能等于增加的机械能。有： 王秋祥教案——机械能精讲 3 22 2 1 2 1 2 BA mvmvmgLLmg 根据同轴转动，角速度相等可知 BA vv2所以：    gLvgLv BA 5 2 5 2 2 需要强调的是，这一类的题目要根据同轴转动，角速度相等来确定两球之间的速度 关系. 拓展 （2）如图所示， 质量分别为 2m 和 3m 的两个小球固定在一根直角尺的两端 A、 B， 直角尺的定点 O 处有光滑的固定转动轴，AO、BO 的长分别为 2L 和 L，开始时直角尺的 AO 部分处于水平位置而 B 在 O 的正下方，让该系统由静止开始自由转动，求 （1）当 A 达到最低点时，A 小球的速度大小 v； （2）B 球能上升的最大高度 h。 （不计直角尺的质量） （3）在水平面上可以自由移动的光滑圆弧类。 光滑的圆弧放在光滑的水平面上，不受任何水平外力的作用，物体在光滑的圆弧上 滑动，这一类的题目，也符合系统机械能守恒的外部条件和内部条件，下面用具体的例 子来说明 例：四分之一圆弧轨道的半径为 R，质量为 M，放在光滑的水平地 面上， 一质量为 m 的球 （不计体积） 从光滑圆弧轨道的顶端从静止滑下， 求小球滑离轨道时两者的速度？ 分析：由圆弧和小球构成的系统受到三个力作用，分别是 M、m 受 到的重力和地面的支持力。 m 的重力做正功， 但不改变系统的机械能， 支持力的作用点在竖直方向上没有位移， 也对系统不做功，所以满足系统机械能守恒的外部条件，系统内部的相互作用力是圆弧 和球之间的弹力，弹力对 m 做负功，对 M 做正功，但这种做功只是使机械能在系统内 部进行等量的转换，不会改变系统的机械能，故满足系统机械能守恒的外部条件。 在整个机械能当中，只有 m 的重力势能减小，m 的动能以及 M 球的动能都增加， 王秋祥教案——机械能精讲 4 我们让减少的机械能等于增加的机械能。有： 22 2 1 2 1 mM mvMvmgR 根据动量守恒定律知 Mm Mvmv 0 所以：        )( 2 )( 2 mMM gR Mv mMM gR mv Mm 拓展 （3）如图所示是为了检验某种防护罩承受冲击力的装置， M 是半径为 R＝1.0 m 的固定在竖直平面内的1 4光滑圆弧轨道，轨道上端切线水平．N 为待检验的固定曲面，该 曲面在竖直面内的截面为半径 r＝ 0.69 m 的1 4圆弧，圆弧下端切线水平且圆心恰好位于 M 轨道的上端点．M 的下端相切处放置竖直向上的弹簧枪，可发射速度不同的质量为 m ＝0.01 kg 的小钢珠．假设某次发射的钢珠沿轨道恰好能经过 M 的上端点，水平飞出后落 到曲面 N 的某一点上，取 g＝10 m/s2．问： (1)发射该钢珠前，弹簧的弹性势能 Ep多大？ (2)钢珠落到圆弧 N 上时的动能 Ek多大？(结果保留两位有效数字) （4）悬点在水平面上可以自由移动的摆动类。 悬挂小球的细绳系在一个不受任何水平外力的物体上，当小球摆动时，