高中均值不等式讲解及习题

高中均值不等式讲解及习题 一．均值不等式 a2b2 1. （1） 若a,b R， 则a b2ab(2)若a,b R， 则ab  （当且仅当a  b时取 “=” ） 2 22 2. (1)若a,b R*， 则 a b ab (2)若a,b R*， 则a b  2 ab（当且仅当a  b时取 “=” ） 2 a b (当且仅当a  b时取“=”(3)若a,b R ，则ab   ）  2  * 2 3.若x 0，则x 时取“=” ） 11 ）;若x 0，则x 2(当且仅当x 1 2(当且仅当x 1时取“=” xx 若x  0，则 x 1  2即x 1  2或x 1  -2 (当且仅当a  b时取“=” ） xxx 3.若ab  0，则a  b  2 (当且仅当a  b时取“=” ） ba 若ab0，则 ababab ）2即2或-2(当且仅当a  b时取“=” bababa a b 2 a2b2 4.若a,b R，则(（当且仅当a  b时取“=” ） )  22 注： （1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时， 可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大” ． （2）求最值的条件“一正，二定，三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方 面有广泛的应用． 应用一：求最值应用一：求最值 例 1：求下列函数的值域 11 （1）y＝3x＋ 2 （2）y＝x＋ 2xx 2 1 解： （1）y＝3x ＋ 2 ≥2 2x 2 1 3x · 2 ＝6∴值域为[6 ，+∞） 2x 2 1 （2）当 x＞0 时，y＝x＋≥2 x 1 x·＝2； x 1 x·=－2 x 11 当 x＜0 时， y＝x＋= －（－ x－）≤－2 xx ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞） 解题技巧：解题技巧： 技巧一：凑项技巧一：凑项 5 ，求函数 y  4x2 1 的最大值。 4 4x5 1 不是常数，所以对4x2要进 4x5 例 1：已知x  解：因4x50，所以首先要“调整”符号，又(4x2) 行拆、凑项， 511  x ,54x  0， y  4x2 54x 3  231 44x554x  当且仅当54x  1 ，即x 1时，上式等号成立，故当x 1时，y max1。 54x 评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。 技巧二：凑系数技巧二：凑系数 例 1. 当时，求y  x(82x)的最大值。 解析：由知，，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此 题为两个式子积的形式，但其和不是定值。注意到2x(82x) 8为定值，故只需将 y  x(82x)凑上一个系数即可。 当，即 x＝2 时取等号当 x＝2 时，y  x(82x)的最大值为 8。 评注：本题无法直接运用均值不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用均值 不等式求最大值。 变式：设0  x  3 ，求函数y  4x(3 2x)的最大值。 2 23 2x 3 2x9 解：∵0  x  ∴32x  0∴y  4x(3 2x)  22x(3 2x)  2   222  当且仅当2x  3 2x,即x  3 3 0,时等号成立。 4  2 技巧三：技巧三： 分离分离 x27x10 (x  1)的值域。 例 3. 求y  x1 解析一：本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有（x＋1）的项，再将其 分离。 当,即时,y  2（x1) 4 5  9（当且仅当 x＝1 时取“＝”号）。 x1 技巧四：换元技巧四：换元 解析二：本题看似无法运用均值不等式，可先换元，令 t=x＋1，化简原式在分离求最值。 当,即 t=时,y  2 t 4 5  9（当 t=2 即 x＝1 时取“＝”号）。 t 评注：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再 利用不等式求最值。即化为y  mg(x) 后运用均值不等式来求最值。 A  B(A 0,B 0)，g(x)恒正或恒负的形式，然 g(x) 技巧五：技巧五： 注意：注意： 在应用最值定理求最值时，在应用最值定理求最值时， 若遇等号取不到的情况，若遇等号取不到的情况， 应结合函数应结合函数f(x) x 的单调性。的单调性。例：求函数y  a x x25 x 4 2 的值域。 2 解：令 x24 t(t  2)，则 y  x 5 x2 4  x24 1  t  (t  2) t x2 4 1 11 因t  0,t 1，但t 解得t  1不在区间2,，故等号不成立，考虑单调性。 tt 15 因为y  t  在区间1,单调递增，所以在其子区间2,为单调递增函数，故y 。 t2 5  所以，所求函数的值域为  ,。 2 练习．求下列函数的最小值，并求取得最小值时，x 的值. 1 1 x23x1 ,x(0,),x  3(3)y  2sin x ,( x  0)（2）y  2x（1）y  sin xxx3 2 2．已知0 x1，求函数y x(1x)的最大值.；3．0 x ，求函数y x(23x)的最 3 大值. 条件求最值条件求最值 1.若实数满足ab  2，则3a  3b的最小值是. 分析： “和”到“积”是一个缩小的过程，而且3a3b定值，因此考虑利用均值定理求 最小值， 解： 3a和3b都是正数，3a 3b≥2 3a3b 2 3ab 6 当3a  3b时等号成立，由ab  2及3a 3b得a  b 1即当a  b 1时，3a 3b的最小 值是 6． 11 变式：若log 4 x log 4 y  2，求  的最小值.并求 x,y 的值 xy 技巧六：整体代换：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就技巧六：整体代换：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就 会出错。会出错。 。。 19 2：已知x  0, y  0，且 1，求x y的最小值。 xy 错错 ．解 解 ．： x  0, y  0， 且 19  1， x y  1  9 x y 2 9 2 xy 12 故 xy xy  xy x y min 12。 错因：解法中两次连用均值不等式，在x y  2 xy等号成立条件是x  y，在1  9  2 9 xyxy 等号成立条件是 19 即y  9x,取等号的条件的不一致，产生错误。因此，在利用均值不 xy 等式处理问题时，列出等号成立条件是解题的必要步骤，而且是检验转换是否有误的一种 方法。