高中应该掌握的几个重要的函数

高中应该掌握的几个重要的函数高中应该掌握的几个重要的函数 1. f (x)ax  x b (1)a 0,b 0时，f (x)为“双钩函数”： ① 定义域：(,0)(0,)；值域为(, ① 奇偶性：奇函数（有对称中心）； ① 单调性：在区间(, 递减. ① 极值：x   bb 时取到极大值，x 时取到极小值. aa b x bb ][,)； aa bbbb ],[,)上单调递增；在区间[,0),(0,]上单调 aaaa ① 记住 f (x)ax  (a  0,b  0)的图象的草图. b x ≥2 ab；x  0时，f (x)ax ① 不等式性质：x  0时， f (x)ax b x ≤2 ab. （， 0） （ , 0， ）(2) a 0,b0时，f (x)在区间上为增函数. 【思考】：图象大致如何分布. 1 (3)常用地，当a b 1时， f (x) x 的特殊性质略. x 【探究】：①函数 f (x) 1 ax b x 的图象变化趋势怎样？ ① fx ax2 b 2 , fx axn b n nN N的有关性质. xx y  ax yy  ax  b (a  0,b  0) x y k0 2ab  b a b a k0 (a,b) yb O 2ab x Ox b 2.y  ax b (c  0,ad  bc)化简为，y  ax b  a  c cx  dc x d cx  d c 关注公众号《品数学》，每天都有干货！ ①定义域：(,)(,)；值域为y  ①奇偶性：不作讨论； ①单调性：当 d c d c a 的一切实数； c bb dd 0时，在区间(,],[,)上单调递增；当 0时，在区间 cccc dd (,],[,)上单调递减. cc ,a)；①对称中心是点(d c c y  a ；①两渐近线：直线x   d 和直线 cc 【注意】：两条渐近线分别由分母为零和分子、分母中 x 的系数确定. ①平移变换：y  ax b (c  0,ad  bc)可由反比例函数y c(k 0)图象经过平 cx  dx 移得到； ①反函数为y  bdx ； cx a b c 【说明】：分式函数 y  ax b (c  0,ad  bc)与反比例函数y (c 0)，离心 cx  dx 2 2 y x 率均为 2，同源于双曲线 2  2 1. ab 3.三次函数图象与性质初步三次函数图象与性质初步 32（1）定义定义：形如y  ax bx cx d(a  0)的函数叫做三次函数. 定义域为R, 值域为R. （（2 2）解析式：）解析式：①一般式： f (x)  ax bx cx  d(a  0) ； 32 f (x) · x ①零点式：f (x)  a(x  x 1 )(x  x 2 )(x  x 3 )(a  0) （（3 3）单调性：）单调性： f (x) 【探究】：要尝试研究一个陌生函数的一些性质，以往在研究二次函数问题时， 我们需要考虑的因素：①开口方向；①对称轴；①端点值；①与坐标轴交点；①判 别式；①两根符号.在研究三角函数问题时，又采用过“五点”作图法. 32 那三次函数 f (x)  ax bx cx  d(a  0) 的图象及性质，要从那里入手呢？ 再结合探究工具“导数”，我们不妨从函数图象几何特征角度，如零点、极值点、 拐点、凹凸性、极值点区间等，确定研究的方向，把握三次函数的一些粗浅性质. y  ax3bx2cx d(a  0) 2 所以， f(x)  3ax  2bx c ，导函数对称轴 x  b 3a . 2【注意】：拐点横坐标所在处，也有可能是驻点所在处.  4b 12ac（“极值判 别式”，当判别式小于等于零时，无极值点） 关注公众号《品数学》，每天都有干货！ 2 （I）若  4b12ac 0令f(x) 0，由根与系数关系知：x 1 x 2   2b ， 3a x1x2 c 3a b b23acb b23ac ,x 2  两极值点：x 1  3a3a ①当a  0，b 0，c 0，约定d  0，则拐点在y轴左边，极值点分布在y轴左 边.根据零点的个数，尝试做出如下图象： y y y OO Ox xx · · · y y y · ·xx Ox · OO ②当a  0，b 0，c 0时，拐点在y轴左边，极值点分布在y轴两边，且左极 值点绝对值大于右极值点绝对值； yy y OOO xxx · · · y y y · · x xx · O OO ③当a  0，b0，c 0时，拐点在y轴右边，极值点分布在y轴右边，且左极 值点绝对值大于右极值点绝对值.图略 ④当a  0，b0，c 0时，拐点在y轴右边，极值点分布在y轴两边，且左极 值点绝对值小于右极值点绝对值.图略 2 （II ）若  4b12ac 0 关注公众号《品数学》，每天都有干货！ y O x 2 由 x 1  x2 (x 1 x 2 ) 4x 1x2  以图象如右图所示. 4b 12ac 9a2 知：无极值点，拐点横坐标仍为 b 3a ，所 2（III ） 若  0即b 3ac  0时，f (x)  0在 R 上恒成立，即f (x)在(,) 为增函数. x (-∞， + b ) 3a f (x)的符号 b 3a 0 b ，+∞) 3a + （ ① f (x)的单调性 ① 关注公众号《品数学》，每天都有干货！