高中复数知识点及相关练习

复数复数 复数基础知识复数基础知识 一、复数的基本概念一、复数的基本概念 （（1 1））形如 a + bi 的数叫做复数（其中a，bR） ；复数的单位为 i，它的平方等 于－1，即i2 1.其中a叫做复数的实部，b 叫做虚部 实数：当 b = 0时复数 a + bi 为实数 虚数：当b  0时的复数 a + bi 为虚数； 纯虚数：当 a = 0且b  0时的复数 a + bi 为纯虚数 （（2 2））两个复数相等的定义： abi  cdi  a  c且b  d（其中，a，b，c，d， R）特别地abi  0  a  b  0 （（3 3）共轭复数）共轭复数：z  a bi的共轭记作z  abi； （（4 4）复平面）复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面叫复平面；z  a bi，对应点 坐标为pa,b （（5 5）复数的模）复数的模：对于复数z  a bi，把z a2b2叫做复数 z 的模； 二、复数的基本运算二、复数的基本运算 设z 1 a1 b 1i ，z 2  a 2 b 2i （（1 1）） 加法：z 1z2 a 1 a 2 b 1 b 2 i； （（2 2）） 减法：z 1z2 a 1 a 2 b 1 b 2 i ； （（3 3）） 乘法：z 1z2 a 1a2 b 1b2 a 2b1 a 1b2 i 特别z  z  a2 b2。 123456 （（4 4））幂运算：i  i i  1 i  i i 1 i  i i  1  三、复数的化简三、复数的化简 c  di （a,b是均不为 0 的实数） ；的化简就是通过分母实数化的方法将分母z  a bi c  dic  di a bi ac bdad bci 化为实数：z  a bia bi a bia2b2 1 对于z  z  cdicd ab  0，当 时 z 为实数；当z 为纯虚数是z 可设为 abiab cdi  xi进一步建立方程求解 abi 一、知识梳理一、知识梳理 1、复数的有关概念 （1）复数的概念：形如a bi(a,bR)的数叫做复数，其中a,b分别是它的。 若， 则abi为实数， 若， 则abi为虚数， 若， 则abi 为纯虚数。 （2）复数相等：abi cdi(a,b,c,d R)。 （3）共轭复数：abi与cdi共轭(a,b,c,d R)。 （4）复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面，叫做复平面，x轴叫做，y轴 叫做。实轴上的点都表示；除原点外，虚轴上的点都表示；各象 限的点都表示。 （5）复数的模：向量OZ的模r叫做复数z  abi的模，记作：，即 z  abi  。 2、复数的几何意义 （1）复数z  abi复平面上的点Z(a,b)(a,bR)。 （2）复数z  abi复平面上的向量OZ。 3、复数的运算 （1）复数的四则运算 设z1 a bi，z2 cdi(a,b,c,d R)，则 ①加法：z1 z2； ②减法：z1 z2； ③乘法：z1z2=； 一一对应 一一对应 2 ④除法： z 1 ==（cdi  0） 。 z 2 （注：分母实数化） （2）复数的运算定律： z 1  z 2  ；z1 z2 z3； z 1 z 2  ；z1(z2 z3) ； zmzn= ；zm；z 1 z 2  =。 n n 4、几个重要的结论 （1）| z1 z2|2 | z1 z2|2 2(| z1|2 | z2|2)； （2）zz | z |2| z |2； （3）若 z为虚数，则| z |2 z2。 复数最重要的一点就是：记住复数最重要的一点就是：记住 i2 1 例例 1 1：：已知z  a1b4i，求 （（1 1）） 当a,b为何值时 z 为实数 （（2 2）） 当a,b为何值时 z 为纯虚数 （（3 3）） 当a,b为何值时 z 为虚数 （（4 4）） 当a,b满足什么条件时 z 对应的点在复平面的第二象限。 例例 2 2：：已知z 1  3 4i；z2a3b4i，求当a,b为何值时z 1=z2 例例 3 3：：已知z 1i，求z，zz； 3 变式：变式：1 1i是虚数单位,( 1i 1-i )4等于 () A．iB．-iC．1D．-1 2i3 变式变式 2 2：：已知i是虚数单位， 1i （） Ａ1iＢ1iＣ1iＤ．1i 变式变式 3 3：：已知i是虚数单位，复数 13i 1i =（） A2iB2iC12iD12i 变式变式 4 4：：已知 i 是虚数单位，复数 13i 12i （） (A)1＋i (B)5＋5i(C)-5-5i(D)-1－i 变式变式 5 5：：已知i是虚数单位，则 i3i 1 i 1 （） (A)1(B)1(C)i(D)i 变式变式 6 6：：已知 Z 1＋i =2+i,则复数 z=（） （A）-1+3i(B)1-3i(C)3+i(D)3-i 变式变式 7 7：：i 是虚数单位，若 17i 2i  abi(a,bR)，则乘积ab的值是 （A）－15（B）－3（C）3（D）15 真题实战： 1． （2005）若(a  2i)i  b i，其中 a、b∈R，i 是虚数单位，则a2 b2=（） A．0B．2C． 5 2 D．5 2． （2005）已知向量a  (2,3),b  (x,6),且a//b,则 x= . 3.（2007）若复数(1+bi)(2+i)是纯虚数(i是虚数单位，b是实数)，则b= A．-2B． 1 2 C. 1 2 D．2 4． （2008）已知0 a  2，复数 z  ai （i是虚数单位） ，则| z |的取值围是（ A． (1 ， 5) B． (1 ， 3) C． (1 ，5) D． (1 ，3) 5.（2009）下列 n的取值中，使in=1(i是虚数单位）的是 A. n=2B. n=3C. n=4D. n=5 4 ） 6． （2011）设复数 z 满足 iz=1，其中 i为虚数单位，则 A．-iB．iC．-1 7. 7.（（20122012）设）设 i i为虚数单位，则复数为虚数单位，则复数 A.3A.3B.1B.1C.-5C.-5D.-6D.-6 8． （2013）若i(x yi)  3 4i，x, yR，则复数x yi的模是 A．2B．3C．4D．5 D．1 43i = =（（）） i 二、例题分析二、例题分析 类型一：复数的有关概念及复数的几何意义 【例 1】当实数m为何值时，z  lg(m 2m2)(m 3m 2)i （1）为纯虚数； （2）为实数； （3）对应的点在复平面的第二象限。 类型二：复数相等 【例 2】已知集合M  (a3)(b21)i,8，集合N