高三复习数列知识点总结
数列专题解析方法数列专题解析方法 解题策略一：解题策略一：有比较有鉴别才有收获，弄清每种方法好的地方，掌握这一点， 就能解决很多问题。 解题策略二：解题策略二：具体做题时有三个步骤：想一想，做一做，看一看。 解题策略三解题策略三：拿到题就动手做题的习惯不好，很盲目，时间浪费了，还做不出 来；想好了再动手，不管能不能做完，能不能做对，都要做.回头看一看，还有 没有更好的方法， 书上怎么讲的， 老师怎么做的， 回想联想再猜想， 这样一比较， 就能领悟到很多东西.数学题靠做，但是在做题的过程中，还要学会总结分析， 并建立错题集，时常翻阅，这样我们的解题能力才会得到提高. 一、数列通项公式的求解 类型一：观察法类型一：观察法 例 1:写出下列数列的一个通项公式 （1）3,5,9,17,33，； （2）11 ,2 2 ,3 3 ,4 4 ,; 2345 （3）7,77.777.7777.； （4） 2 ,1, 10 , 17 , 26 ,; 37911 （5） 3 , 9 , 25 , 65 ,; 2 4816 类型二：公式法类型二：公式法 （（1 1））a n a 1 (n1)d a m (nm)d 例 2：已知等差数列a n 中，a 1 1,a 3 3,求a n 的通项公式 （（2 2））a n a 1q n1 a mq nm 例 3：已知等比数列a n 中，a 2 6,6a 1 a 3 30,求a n 的通项公式 类型三：利用“类型三：利用“S n ”求解”求解 S 1,(n 1)（（1 1））a n S S (n 2) n1 n 例 4：已知数列a n 的前n项和 S n n2 24n(n N*)，求a n 的通项公 1 式 例 5： 已知数列a n 的前n项和为 S n ， 且有a 1 3,4S n 6a n a n1 4S n1, 求 a n 的通项公式 例 6： 已知数列a n 的前n项和为S n ， 且有a 1 1,a n1 2S n 1(n 1),求a n 的通项公式 例 7：已知正数数列a n 的前n项和为S n ，且对任意的正整数n满 足2 S n a n 1,求a n 的通项公式 （（2 2））S n S n1 的推广的推广 例 8：设数列a n 满足a 1 3a 2 32a 3 3n1a n ,nN*求a n 的通项公 式 类型四：累加法类型四：累加法 形如a n1 a n f (n)或a n a n1 f (n)型的递推数列（其中f (n)是关于n 的函数） （（1 1）若）若 f (n)是关于 是关于n的一次函数，累加后可转化为等差数列求和的一次函数，累加后可转化为等差数列求和 例 9：a n1 a n 2n 1,a 1 2,求a n 的通项公式 （（2 2）若）若 f (n)是关于 是关于n的指数函数，累加后可转化为等比数列求和的指数函数，累加后可转化为等比数列求和 例 10：a n1 a n 2n,a 1 2,求a n 的通项公式 （（3 3）若）若 f (n)是关于 是关于n的二次函数，累加后可分组求和的二次函数，累加后可分组求和 例 11：a n1 a n n2 n 1,a 1 1,求a n 的通项公式 （（4 4）若）若 f (n)是关于 是关于n的分式函数，累加后可裂项求和的分式函数，累加后可裂项求和 例 12：a n1 a n 1 ,a 1 1,求a n 的通项公式 n2 2n n 3 类型五：累乘法类型五：累乘法 2 形如形如 a n1 a f (n)或 或 n f (n)型的递推数列 型的递推数列 （其中（其中 f (n)是关于 是关于n的函数）的函数） a n a n1 例 13：a n n1 a n1,a1 1,(n 2)，求a n 的通项公式 n 类型六：构造数列法类型六：构造数列法 （（1 1）形如）形如a n1 pa n q（其中 （其中p,q均为常数且均为常数且p 0）型的递推式）型的递推式 ①若p 1时，数列{a n }为等差数列; ②若q 0时，数列{a n }为等比数列; ③若p 1且q 0时，数列{a n }为线性递推数列，其通项可通过待定系 数法构造等比数列来求. 例 14：a 1 1,a n1 3a n 2，求a n 的通项公式 方法 1：设a n1 p(a n )，设a n1 3(a n ) 方法 2： a n1 3a n 2 a n1 a n 3(a n a n1) an 3a n1 2 （（2 2）形如）形如a n1 pa n f (n)(p 1)型的递推式 型的递推式 ①当①当 f (n)为一次函数类型（即等差数列） 为一次函数类型（即等差数列） 例 15：a 1 1,a n1 3a n 2n，求a n 的通项公式 B的值， 法 1： 设a n AnB pa n1 A(n1)B， 通过待定系数法确定A、 转化成以a 1 A B为首项，以p为公比的等比数列a n An B，再利 用等比数列的通项公式求出a n An B的通项整理可得an. 法 2： a n1 pa n f (n) a n1 a n p(a n a n1) d ，令b n a n1 a n 得： a pa f (n1) n1 n b n pb n1 d，可解b n ,继而可解a n ②当②当 f (n)为指数函数类型（即等比数列） 为指数函数类型（即等比数列） 形如形如a n1 pa n qn(p q)型 型 3 例 16：a 1 1,a n1 3a n 2n，求a n 的通项公式 法 1：设a n f (n) pa n1 f (n1)，通过待定系数法确定的值，转 化成以a 1 f (1)为首项，以p为公比的等比数列a n f (n)，再利用 等比数列的通项公式求出a n f (n)的通项整理可得a n. 法 2：递推公式为a n1 pa n qn（其中 p，q 均为常数）或a n1 pa n rqn （其中 p， q, r 均为常数） 时， 要先在原递推公式两边同时除以qn1， 1得：n n1 a q apa n 1p1 • n ， b n nbb 引入辅助数列b n（其中 ） ， 得：， n1n nqqqqqq 可解b n ,继而可解a n 法 3：通法 ,在a n1 pa n f (n)两边同时除以pn1可得到 a n1 a n f (n)a n f
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