略谈添加辅助线的原理和技巧

略谈辅助线的添加原理与技巧略谈辅助线的添加原理与技巧 几何问题是困扰学生的一大难题， 尤其是需要添加辅助线的几何 问题．科学、准确地引导学生添加每一条辅助线，能帮助学生揭开辅 助线的神秘面纱，攻克几何难题． 1 1．把握基本图形是科学添加辅助线的前提．把握基本图形是科学添加辅助线的前提 （（1 1）把握基本图形的特征）把握基本图形的特征. . 初中几何问题是由有限的几种基本图形演绎而来． 学生只有熟悉 了基本图形组成的线条及其条件和结论的特征， 把握了基本图形的总 体轮廓，就能在解决几何问题时联想到科学合理的辅助线． 一个定理、概念就有一个基本图形．在概念和定理的教学中教师 不必过于追究文字的描述，而应突出其基本图形的特征， 把定理的条 件和结论直观地表述在图形中， 使之成为一个整体，成为基本图形的 符号标志，通过观察图形， 培养学生的视觉美感．教师还可以给基本 图形取一个直观的名字，便于学生记忆，如双垂图（如图 1） 、角平分 线图（如图2） 、垂直平分线图（如图3）等等，也有利于学生把握基 本图形的特征． 图 1图 2 图 3 （（2 2）关注基本图形的变形）关注基本图形的变形. . 1 几何定理和概念描述的是具有某些共同属性的几何图形所具有 的共同的性质．组成这些图形的线条和基本条件相同， 但线条的位置 和 长 度 却 千 变 万 化 ． 在 概 念 和 定 理 教 学 中 ， 图 图 5 教师要对基本图形的位置和形状进行各种变式训练． 如遇到涉及角的 图形要画出锐角、直角、钝角的各种变式让学生辨认，不断变换角度 大小、 几何元素间的相互位置， 对一个基本图形作翻折、 旋转等变化， 让学生从各个角度去认识图形， 提高学生对图形的欣赏、 鉴别能力． 如 图 4 就是三合一图的三种不同形状， 各种形状还可以变化出各种不同 位置的图形． （（3 3）学会几何图形的分解）学会几何图形的分解. . 几何图形由若干基本图形组成． 把一个几何图形分解为基本图形 是解决几何问题的关键．在分析过程中，可用不同颜色的笔勾画出基 本图形，也可把基本图形从复杂图形中抽出来， 如图 5 可分解为角平 分线图（图6（1） ） 、等腰三角形图（图6（2） ） 、双垂图（图6（3） ） 三个基本图形． 4 2 （1）（2）（3） 图 6 2 2．捕捉辅助线的信号是快捷添加辅助线的思维起点．捕捉辅助线的信号是快捷添加辅助线的思维起点 学生添加辅助线往往是盲目的、 试探性的．究竟从哪里入手添加 辅助线才既快捷又准确？ （（1 1）从题设入手添加辅助线）从题设入手添加辅助线 题设是添加辅助线的第一信号来源． 为了应用已知条件，必须把 条件涉及的几何元素归到基本图形中， 如果基本图形不全，就要添加 辅助线，构成完整的基本图形． 例例 1 1如图 7，△ABC中，M是BC的中点，AD是∠A的平分线， BD⊥AD，垂足为D，AB=12，AC=18，求DM的长． 图 7图 8 分析：分析： 本题有非常明显的图形特征：AD是∠A的平分线，BD⊥AD， 自然联想起三合一图，从而延长BD，与AC相交于点 N．这条辅助线 的思维起点就是题目中的题设条件． 从题设出发添加辅助线的情况很多， 如在梯形中已知两腰的关系， 可以平移腰；在圆中已知直径，可以作出直径所对的圆周角等． （（2 2）从结论入手添加辅助线）从结论入手添加辅助线 结论是添加辅助线的第二信号来源． 通过添加辅助线可以把结论 涉及的几何元素还原到基本图形中，或者让基本图形显现出来． 3 例例 2 2如图 8，△ABC中，∠B=2∠C，AD为BC边上的高，点E 为BC的中点，求证：DE AB． 1 2 （1）（2） 图 9 分析：分析：本题常用的辅助线有两种：取AC的中点G点，连结EG、 DG（如图 9（1） ） ；取AB的中点F，连结EF、DF（如图 9（2） ） ，添加 这两种辅助线的出发点都来自题目的结论． 例例 3 3如图 10，E、F分别为正方形ABCD的边BC、CD上的点， ∠EAF=45°,求证：EF=BE+DF． 图 10图 11 分析：分析：本题的常规辅助线是延长CB到点G，使BG=FD，这样添加 的出发点就是题目的结论：EF=BE+DF．根据题目结论涉及的线段或角 寻找基本图形，通过添加辅助线让这些几何元素归位“回家”是一般 的思考模式． （（3 3）两者兼顾，才是科学的选择）两者兼顾，才是科学的选择. . 从题设入手添加辅助线方便进行综合推理， 但不一定就能完成推 理；从结论入手添加辅助线易于进行逆向分析， 但不一定就能完成证 4 明．二者兼顾，才是科学的选择． 例例 4 4如图 11，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A＋∠B＝90°， M、N分别是DC、AB的中点．求证:MN  1 ABCD． 2 （1）（2） （3） 图 12 分析：分析：本题若从已知条件出发，第一方案就是延长AD和BC， 构建直角三角形（如图 12（1）），可是这样对处理MN ABCD 是不明朗的；第二个方案就是平移梯形的腰（如图12（2）），集 中聚拢∠A和∠B，也形成了ABCD，可是此方案没有联系题目中的 中点条件．所以需要同时平移梯形的腰AD、BC（如图 12（3））， 这样既能考虑题设条件，也能兼顾结论． 例例 5 5如图 13，M为正方形 ABCD边AB的中点，E是AB延长线上 的一点， MN  DM ，且交CBE的平分线于 N ．求证：MD  MN． 1 2 图 13 5 分析：分析：在本题的解答过程中，大部分学生过点N作 NF  BE，然后 证明△DAM≌△MFN，最终没能成功．原因是这条辅助线没有利用题设 中的中点条件．如果取AD的中点G，连接MG，这样就能两者兼顾， 从而顺利解决问题． 3.3. 掌握辅助线的添加原则是合理添加辅助线的依据掌握辅助线的添加原则是合理添加辅助线的依据 （（1 1）难点优先）难点优先 添加辅助线可以化繁为简，化难为易，所以优先处理题中繁难的 式子，可以将其抽象出基本图形． 例例 6 6如图 14（1） ，△ABC中，AB=AC，D为△ABC外一点，且∠ ABD=60°，ADB  90 1 BDC，求证：AB=BD+CD． 2 图 14（1）图 14（2）图 15（1） 图 15（2） 分析：分析： 本题添加辅助线有两个难点： 一是ADB  90 BDC， 二 是AB=BD+CD．基于 “难点优先”的原则，想到了作这样的辅助线：延 长AD和延长BD至点E，使DE=CD这样的辅助线（如图 14（2） ） ． （（2 2）结论优先）结论优先 添加辅助线的最终目的是证明结论，从题设出发添加辅助线往 6 1 2 往有多种可能，并不是每一条都能很快得到命题的结论， 故通常优先 考虑根据结论添加辅助线． 例例 7 7如图 15（1） ，BC为半圆O的直径，F是半圆上异于B、C 的一点，A是BF的中点，AD⊥BC垂足为D， 与BF相交于点E． 求证： BE·BF＝BD·BC． 分析：分析：本题若从题设出发，考虑添加的辅助线就是由直径构建直 径所对的圆周角，可连结AB、AC或连结FC，但是选择连结AB、AC并