电路的频率响应和谐振现象

第七章第七章 例 10．1 电路如图 10.4 （a）所示： /U （1）试求出电压比 H(jω)=U 21 （2）判断电路有何种性质，简画幅频特性。 图 10.4 例 10.1用图 （3）若 R1=R 2=1K,L1=10mH,C2=0.0μf 时，求截止频率ω0 及品质因数 Q 。 分析: 这是典型的二阶电路。通过阻抗分压求出输出比输入的频率响应, 与标准形式相 比, 就可判断出电路属于何性质电路，可大致画出其幅频特性，并且由标准形式可求出电 路的截止频率和品质因数。 解 ：(1) U 2= . 1 G 2 j C 2 1 R 1 j L 1 G 2 j C 2 U 2 U 1 . . U 1 . H(jω) = 1 1 (R 1 j L 1 )(j C 2 ) 1 R 2 = 1 LR (j 2L 1C2 (R 1C2 1)j11 R 2 R 2 = R 2 R 1 R 2 ( 1 R 1 1 ) R 2 LC RR11 (j )2(1)j1) L 1 R 2C2 R 2 L 1C2 (2) 由滤波器电路的标准形式可判断此电路为低通滤波器电路， 其幅频特性如图 10.4 （b） 。 （3）当 R1=R 2=1k,L1=10mH,C2=0.01 uf 时 ω0= 2×10 rad/s 5 Q = 2 0. 707 2 〔评注〕 ：在截止频率处，频率响应等于最大值的0.707倍，此点也称为半功率点。从品质因数较低可看 1 出，电路从通带到止带的过渡是很缓慢的，与理想特性相差甚远，因此实际电路通常采用有源滤波或其 它形式的电路，以改进频率响应。 例 10.2 滤波器电路如图 10.5所示， 欲设计中心频率ω =1000Hz,带宽为 100Hz,试确定 各元件的值。 图 10.5 例 10.2用图 分析：这是一个有源滤波电路, 首先必须根据节点方程和理想运算放大器的特性, 求出 输出电压与输入电压之比 , 再于标准形式比较, 得到中心频率和带宽与元件的关系 , 求出元 件值。 解：设节点电位 u1, 列节点电位方程： ( 111 2sC) U 1 (s)Ui(s) sCU 0 (s)0 R 1 R 2 R 1 sCU 1 (s) U 0 (s) 0 R 3 U 0 (s) Ui(s) 消去 U 1(s), 得到 H(s) = 1 s R 1C H(s) = R 1 R 2 2 2ss 2R 3C C R 1R2 R 3 H(jω) = 1 j R 1C RR 2 2 (j 2j 2 1 R 3C C R 1R2 R 3 可见这是个带通滤波电路。 Q 1 C 111 () R 3 R 1 R 2 2 R 3C B= 2 设 C= 0.1μ f则 R 3 22 200kΩ BC1000. 1 10 6 1 C 1 R 2 R 3 假定 R 1R2 R 2 取 R1 =100 k Ω 即可。 11 ==0.5kΩ 31462 R 3C 200 101010 〔评注〕利用各变量的拉普拉斯变换，使推导和计算更为方便。另外，在设计元件时，往往需要一些近 似，或者先确定某个元件值，再由公式确定另外一些元件值。 例 10.3 一个 RLC 串联谐振电路，电源电压 Us=1V , 且保持不变。当调节电源频率， 使电路达到谐振时，f =100kHz,这时回路电流 I=100mA;当频率改变为 f =99kHz 时，回路 电流 I=70.7mA。求回路的品质因数和电路r,L,C参数值。 分析：当外加电源振幅不变，但频率变化时，由于L,C 的存在，使电路响应发生不同 的变化。电路达到谐振时，回路电流最大，当失谐时，电流相应减小，且f =99kHz 时， 电流为谐振时的 0.707倍，此频率点为电路的截止频率。 解：∵f0= 1 2 1 LC ∴LC= 1 (2 f 0 )2 I 0 2 =0.707 ×I0又∵f1为 99kHz ,回路电流 I= ∴f1为回路的截止频率。 B=2(f0－f 1)=2kHz B f 0 r L Q2 L r 而I0= Us/r 联立求解，得： r=10Ω L=796mH C=3180 μf Q=20 〔评注〕 ：做题时, 要熟知串联谐振电路的特性与一些公式, 如谐振时, 回路电流最大, 且与电源电压同相, 电 阻上电压就等于电源电压, 所以 I 0 = Us/r ,以及谐振角频率与通频带的公式, 则求解就很方便了。 3 例 10.4电路如 10.6所示，图中 0k1。求电路的谐振频率 f0。 图 10.6 例 10.4用图 分析：当电路谐振时总阻抗为纯电阻, 因此通过求等效阻抗或等效导纳, 使虚部为零来 寻找谐振频率与元件的关系。 1.1. U +jωC(U kU )解：设电流 I = U + Rj L 1 .1 =( 1k)j C U Rj L Y= 1 R 1 jC ( 1k) L 令其虚部为零，则 1 LC ( 1k) f 0 1 2L( 1k) 〔评注〕 ：如果是规则的串联或并联谐振电路, 则谐振频率只要带入公式求即可, 对于本题这种电路, 只 能通过谐振电路的本质特性去求, 也就要求对谐振电路的谐振现象有更深刻的理解。 例 10.5 如图 10.7 （a）所示谐振电路。已知谐振回路本身Q 0=40, 信号源内阻 Ri=40k Ω, C=100pf, L=100μH 。 （a）图 10.7 例 10.5用图（b） 求（1）谐振频率 f 0 及电路通频带。 （2）当接上负载 R L=40kΩ, 电路通频带有何变化？ 分析：并联谐振电路在接入电源后， 其电路的谐振频率不变, 谐振频率仅与电路参数有 关。Q 0 是回路本身仅与电阻r有关的品质因数， 内阻的引入使总电路的品质因数和通频带 4 都会发生变化，内阻越小，影响越大，接入负载的影响同样。 2 0 解： （1） 11 1410 LC100*1012*100*10 6 107 6f 0 =1.59× 10 Hz 2 L L C Q 0= rr L C 1000 r25 Q 0 40 电路等效为图 10.7(b) L106 40kR 0 Cr25 Q = C (R 0 // R i) 40 20 2 107 5 B==5× 10=500kHz Q20 (2)当接入 R L 时，Q 进一步降低，通频带进一步展宽 Q= C (R 0 // R i // R L ) Q 0 40 33 B= Q 3 =3× 250 =750 k Ω Q 0 〔评注〕 ： 求解实用性并联谐振电路， 一般先等效成完全并联谐振电路， 然后由已知条件， 求出未知参数。 另外，对串联谐振电路，串入的内阻越大，品质因数变的越小；而对并联谐振电路，电源内阻越小，品 质因数变的越小。 例 10.6电路如图 10.8所示，us(t) 中含有基波及谐波成分，ω0 =1000 rad/s，若使电 路能阻止二次谐波电流通过, 让基波顺利通过负载, 求 C1和 C 2 。 分析: 若阻止二次谐波电流通过, 则应使电路某一局部断开 ; 使基波顺利通至负载, 则从 电源到负载对基波的阻抗应为零, 这样通过串并联谐振都能实现。 解：令 L 和 C1 对二次谐波发生并联谐振，则局部