山东高考理科数学圆锥曲线大题

优秀学习资料欢迎下载 一、弦长问题一、弦长问题 圆锥曲线的弦长求法 设圆锥曲线 C∶f(x， y)=0 与直线 l∶y=kx+b 相 交于 A(x1, y1)、B(x2, y 2 )两点，则弦长|AB|为： (2)若弦 AB 过圆锥曲线的焦点 F，则可用焦半 径求弦长，|AB|=|AF|+|BF|． 例例 1 1 过抛物线y   1 2 4 x 的焦点作倾斜角为的 直线l与抛物线交于 A、B 两点，且|AB|=8，求倾斜 角． 分析一：由弦长公式易解．解答为： ∵抛物线方程为x2 4y，∴焦点为 (0，-1)． 设直线 l 的方程为 y-(-1)=k(x-0)， 即 y=kx-1． 将此式代入x2 4y中得： x24kx4  0．∴x 1x2  4，x 1  x 2  4k 由|AB|=8 得:8  1 k2  4k2 41 4 ∴ k  1 又有tan 1得: 3 4 或 4 . 分析二:利用焦半径关系.∵ AF  y  p 2 , BF  y p 12  2 ∴ |AB|=-(y1+y2)+p=-[(kx1-1)+(kx2-1)]+p=-k(x1+x 2)+2+p．由上述解法易求得结果，可由同学们自己 试试完成． 二、最值问题二、最值问题 方法方法 1 1：定义转化法：定义转化法 ①根据圆锥曲线的定义列方程；②将最值问题转化 为距离问题求解． 例例 2 2、、已知点F是双曲线x 2－y2 412＝1 的左焦点，定点 A的坐标为(1,4)，P是双曲线右支上的动点， 则|PF| ＋|PA|的最小值为________． 方法方法 2 2：数形结合（切线法）：数形结合（切线法） 当所求的最值是圆锥曲线上的点到某条直线的距离 的最值时：①求与直线平行的圆锥曲线的切线；② 求出两平行线的距离即为所求的最值． 例例 3 3、求椭圆x 2＋y 2 2 ＝1 上的点到直线y＝x＋2 3的 距离的最大值和最小值，并求取得最值时椭圆上点 的坐标． 优秀学习资料欢迎下载 方法方法 3 3：参数法（函数法）：参数法（函数法） ① 选取合适的参数表示曲线上点的坐标； ②求解 关于这个参数的函数最值 例例 4 4、在平面直角坐标系xOy中，点P(x，y)是椭圆 x2 2 3 ＋y＝1 上的一个动点，则S＝x＋y的最大值为 ________． 方法方法 4 4：基本不等式法：基本不等式法 ①将最值用变量表示． ②利用基本不等式求得表达式的最值． 例例 5 5、 求椭圆x 2 2 3 ＋y＝1 内接矩形ABCD面积的最大值． 例例 6 6 已知定点 A(0，3)，点 B、C 分别在椭圆 4x2 16 3 y21的左右准线上运动，当∠BAC=90° 时，求△ABC 面积的最小值。 例例 7 7已知x2+4(y-1)2=4，求：(1)x2+y2的最大值 与最小值;(2)x+y 的最大值与最小值． 优秀学习资料欢迎下载 三、定值、定点问题三、定值、定点问题 方法方法 1 1：特殊到一般法：特殊到一般法 根据特殊情况能找到定值(或定点)的问题 ① 根据特殊情况确定出定值或定点； ②对确定出来的定值或定点进行一般情况的证明． 例例 8 8、已知双曲线C：x－ ＝1，过圆O：x＋y＝2 2 上任意一点作圆的切线l，若l交双曲线于A，B两 点，证明：∠AOB的大小为定值． 2 y2 22 优秀学习资料欢迎下载 方法方法 2 2：引进参数法：引进参数法 定值、定点是变化中的不变量，引入参数找出 与变量与参数没有关系的点 (或值)即是定点(或定 值). ① 引进参数表示变化量； ②研究变化的量与参数何时没有关系，找到定值 或定点 例例 9 9、、如图所示，曲线C x2y2 2 1：9 ＋ 8 ＝1，曲线C2：y＝ 4x，过曲线C1的右焦点F2作一条与x轴不垂直的直 线，分别与曲线C1，C2依次交于B，C，D，E四点．若 G为CD的中点、H为BE的中点，证明|BE|·|GF2| |CD|·|HF 为 2| 定值． 例例 1111已知抛物线方程为y   1 2 x2h，点 A、B 及点 P(2，4)都在抛物线上，直线 PA 与 PB 的倾斜角 互补。 （1）试证明直线 AB 的斜率为定值； （2）当直线AB 的纵截距为 m（m＞0）时，求△ PAB 的面积的最大值。 优秀学习资料欢迎下载 例例 1212（20XX 年全国高考）设抛物线y 2px（p＞ 0）的焦点为F，经过点F 的直线交抛物线于 A、B 两 点，点 C 在 抛物线的准 线上，且 BC ∥x 轴，证 明：直线 AC 经过原点。 图 2 C B O Fx y A 2 优秀学习资料欢迎下载 例例 1313.在抛物线 x2＝4y 上有两点 A(x1， y1)和 B(x2， y2)且满足|AB|=y1+y2+2，求证： (1)A、B 和这抛物线的焦点三点共线； (2) 11 AF  BF 为定值. 四、相交问题四、相交问题 直线与圆锥曲线相交问题，一般可用两个方程 联立后，用△≥0 来处理．但用△≥0 来判断双圆锥 曲线相交问题是不可靠的．解决这类问题：方法1， 由“△≥0”与直观图形相结合； 方法 2，由“△≥0” 与根与系数关系相结合；方法3，转换参数法(以后 再讲)． 2 例例 1414 已知曲线C1: x2 y  a 2 1及 C 2 : y  x21有公共点,求实数 a 的取值范围． 优秀学习资料欢迎下载 五、参数范围问题五、参数范围问题 方法方法 1 1：曲线几何性质法：曲线几何性质法 ①由几何性质建立关系式；②化简关系式求解． 例例 1515、已知双曲线x 2y2 a2－b2＝1(a＞0，b＞0)的左，右 焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上， 且|PF1| ＝4|PF|，则此双曲线中 c 2 a 的取值范围是________． 方法方法 2 2：判别式法：判别式法 当直线和圆锥曲线相交、相切和相离时，分别对应 着直线和圆锥曲线方程联立消元后得到的一元二次 方程的判别式大于零、等于零、小于零 ① 联立曲线方程，消元后求判别式； ②根据判别式大于零、小于零或等于零结合曲线性 质求解． 例例 1616、在平面直角坐标系xOy中，经过点(0， 2) 且斜率为k的直线l与椭圆x 2＋y 2 2 ＝1 有两个不同的 交点P和Q. (1)求k的取值范围； (2)设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为 A，B，是否存在常数m，使得向量OP →＋OQ→与AB→共线？ 如果存在，求m值；如果不存在，请说明理由． 优秀学习资料欢迎下载 17.17.已知椭圆 x2y2 例例 a2  b2 1(a  b  0)的长、短轴 端点分别为 A、B，从此椭圆上一点 M 向 x 轴作垂线， 恰好通过椭圆的左焦点F 1，向量 AB与OM 是共线 向量。 （1）求椭圆的离心率e； （2）设Q 是椭圆上任 意一点，F1、F 2 分别是左、 右焦点， 求∠F 1QF2 的 取值范围； 例例 1818.椭圆 x2y2 9  4 1的焦点为 F 1 ,F 2 ，点 P 为其 上的