圆的综合--相似小专题

圆的综合 类型 1：圆割（切）线产生的相似图形 （1）如图，AD 和 AE 与圆 O 相交，则有：△ABC△△ADE。如果把图形剥离出来，就是我们常见的 A 型 相似。 【证明】 ： 【变化】若弦 DE∥BC，便得平行线 A 型相似。 （2）现在，我们把 AE 绕点 A 顺时针旋转，旋转至 AE 与圆 O 相切的位置，记切点为 B，此时，相当于点 B 与点 E 重合于点 B，有：△ABC△△ABD，此图为切割线定理的基本图形，如下图；若把圆去掉，变得到 了“母子型”相似。 【证法一】如下图： 【证法二】如下图： 类型二：相交弦产生的相似图形 （3）如图，弦 AB、CD 相较于点 E，则有：△AEC△△DEB，△AED△△CEB。若把圆去掉，变得到 8 字相 似模型，如下图： 证明： 【变化】若是把弦 AC、BD 调整为平行的两条弦，便得到平行线 8 字模型。 这个基本图形，还在如下两类图形里经常出现，如下图： 类型三：直径所对的圆周而产生的相似模型 （4） 如图， BC 与圆 O 相切于点 B， AC 与圆 O 相交于点 D， AB 为圆 O 的直径， 有： △ABD△△ACB△△BCD。 若把圆 O 去掉，便得到了基本的垂直相似模型，如下图： 由于△ABC＝90°， 所以， 可以把圆的位置移动一下， 便得到了下图。 AC 为直径， BD△AC 于点 D， 有： △ABD△△ACB△△BCD。 由于△CDB＝90°，所以，可以把圆的位置再移动一下，便得到了下图。BC 为直径，AB△BC 于点 B， 有：△ABD△△ACB△△BCD。 【例 1】如图，AB、CD 是圆 O 的直径，BE 是圆 O 的弦，且 BE△CD，过点 C 的切线与 EB 的延长线交于 点 P，连接 BC。 （1）求证：BC 平分△APB； （2）求证： PEPBPC 2 ； （3）若4PCBPBE,求圆 O 的半径。 【例 2】 （2017·雅礼期末）如图，四边形 ABCD 内接于圆 O，AB 是直径，AD=DC。分别延长 BA、CD， 交点为 E。作 BF△EC，并与 EC 的延长线交于点 F，连接 BD。 （1）求证：△BFC△△BDA； （2）若 AE=AO，求 cos△ADE； （3）在（2）的条件下，若 BC=6，求 BF 的长。 【例 3】 （2017·南雅期末）如图，已知△ABC 中，BA=BC，以 AB 为直径的圆 O 与 AC 交于 D 点，过点 D 作 DF△BC 交 AB 的延长线于点 E，垂足为 F。 （1）证明：DE 为圆 O 的切线； （2）若圆 O 的半径为 5， 3 3 sinA ，求 EB 的长。 1、 （2017·青竹湖期末）如图，点 A、B、C 是圆 O 上的三点，AB△OC。 （1）求证：AC 平分△OAB； （2）过点 O 作 OE△AB 于点 E，交 AC 于点 P，若 AB=4，OP=2PE，求圆 O 的半径长和 OP 的长。 2、（2017·师大附中期末） 如图， △ABC 内接于圆 O， AD 是圆 O 直径， E 是 CB 延长线上一点， 且△BAE=△C。 （1）求证：直线 AE 是圆 O 的切线； （2）若△BAE=30°，圆 O 的半径为 2，求阴影部分的面积； （3）若 EB=AB， 5 4 cosE ，AE=24，求 EB 的长及圆 O 的半径。 3、 （2017·明德期末）如图，在△ABC 中，△C=90°，点 O 在 AC 上，以 OA 为半径的圆 O 交 AB 于点 D， BD 的垂直平分线交 BC 于点 E，交 BD 于点 F，连接 DE。 （1）判断直线 DE 与圆 O 的位置关系，并说明理由； （2）若 AC=6，BC=8，OA=2，求线段 DE 的长。 4、 （2017·长郡期末）如图，AB 是圆 O 的弦，D 为半径 OA 的中点，过 D 作 CD△OA 交弦 AB 于点 E，交 圆 O 于点 F，且 BC 是圆 O 的切线。 （1）求证：CE=CB； （2）连接 AF、BF，求△ABF 的正弦值； （3）如果 CD=15，BE=10， 13 5 sinA ，求圆 O 的半径。 5、 （2018? 雅礼第三次月考）如图，AB 是圆 O 的直径，点 D、E 在圆 O 上，△A=2△BDE，点 C 在 AB 的延 长线上，△C=△ABD。 （1）求证：CE 是圆 O 的切线； （2）连接 BE，求证：△CEB=△BDE。 （3）若 BF=2， 11EF ，求圆 O 的半径。 6、如图，已知圆 O 为△ABC 的外接圆，且 AB=AC，过 A 作 AF 交 CB 的延长线于点 F，交圆 O 于点 E， 连接 BE，D 为弧 AC 上一点，连接 AD、CD，且 BE=AD。 （1）求证：△ADC△△FBA； （2）若 AB=6，DC＝3，求 tan△CAD 的值。 7、如图，CD 是⊙O 的切线，点 C 在直径 AB 的延长线上． （1）求证：∠CAD=∠BDC； （2）若ADBD 3 2  ，AC=3，求 CD 的长． 8、(2017·广益第三次月考)如图，△ ABC 内接于圆 O，CD 平分∠ACB 交圆 O 于 D，过点 D 作 PQ∥AB 分 别交 CA、CB 延长线于 P、Q。连接 BD。 （1）求证：PQ 是圆 O 的切线； （2）求证： BQACBD 2 ； （3）若 AC、BQ 的长是关于x的方程 m x x 4 的两实根，且 3 1 tanPCD ，求圆 O 的半径。