圆锥曲线-椭圆专题讲义 学生版

一、? 知识梳理 ? 名? 称?椭?????????圆? ? 图? 象? ? ? ? ? 定? 义? ? ? ??平面内到两定点 21,F F 的距离的和为常数（大于 21F F ）的动点的轨迹叫椭圆， 即 aMFMF2 21  ? ??当 ?a﹥?c时，轨迹是椭圆，? ??当 ?a?? c时，轨迹是一条线段 21F F ? ??当 ?a﹤?c时，轨迹不存在? ? ? ? 标准方程? ??? 焦点在x轴上时：? 1 2 2 2 2  b y a x ??? 焦点在y轴上时： 1 2 2 2 2  b x a y ?? 注：是根据分母的大小来判断焦点在哪一坐标轴上? 常数cba,,的关系???? ?? 222bca ， 0 ba ，? ?? a最大，bcbcbc,, ? 图像性质? 椭圆共有四个顶点：?)0 ,(),0 ,( 2 aAaA ，), 0(),, 0( 2 bBbB加两焦点 )0 ,(),0 ,( 21 cFcF  共有六个特殊点? 21 AA 叫椭圆的长轴， 21B B 叫椭圆的短 轴．长分别为ba 2 ,2??ba,分别为椭圆的长半轴长和短半轴长 椭圆的顶点即 为椭圆与对称轴的交点。? ? 重点题型?第二定义、轨迹方程、定点问题、最值问题、韦达定理等? xO y 教学内容 第 2 页 共 7 页 二、课堂训练 例 ???（第二定义） 已知曲线上动点到定点与定直线的距离之比为常数． （1）求曲线的轨迹方程； （2）若过点引曲线 C 的弦 AB 恰好被点平分，求弦 AB 所在的直线方程； 【小结? 椭圆第二定义】? 1.?????????????????????????????????? e c a eM()01 的动点的轨迹叫做椭圆，定点为椭圆的一个焦点，定直线为 ????????e ???????? ??? ①对对应于右焦点，的准线称为右准线， x a y b abF c 2 2 2 2 2 100()() 方程是，对应于左焦点，的准线为左准线x a c Fcx a c   2 1 2 0() ? e ????????????????????????????? 2. ?????????? ????????????????????????? 对于椭圆 ，设，为椭圆上一点，由第二定义： x a y b abP xy 22 2 10  ()() 左焦半径 ∴· 左 左 r x a c c a rex c a a c aex 0 2 0 2 0   C( , )P x y 1( 3,0) F 1 4 3 : 3 lx  3 2 C 1 (1, ) 2 QQ 第 3 页 共 7 页 右焦半径 右 右 r a c x c a raex 2 0 0   例 ??（轨迹方程）设椭圆方程为 1 4 2 2 y x ，过点?（? ，? ）的直线?交椭圆于点?、?，?是坐标原点， 点?满足OP( 2 1 OA)OB ，点?的坐标为) 2 1 , 2 1 ( ，当?绕点?旋转时，求动点?的轨迹方程； ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 【小结】 ：一般的，求一点的轨迹方程的思路是先把这一点坐标设出来（???）? 然后找 ?与 ?之间的关系 式。? ? 例 ??（弦长与面积）已知椭圆 )0(1 2 2 2 2 ba b y a x ，左右焦点分别为 21 , FF ，长轴的一个端点与短 轴两个端点组成等边三角形，直线l经过点 2 F ，倾斜角为 45 ，与椭圆交于BA ,两点? （1）若22| 21 FF｜，求椭圆方程； （2）对（1）中椭圆，求 1 ABF 的面积； ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 第 4 页 共 7 页 ? 【小结】 ：?||||ABkxx AB 1 2· || 1 2 a k △ · ? 例 4.（韦达定理）设 ? ? 、? ? 分别是椭圆 1 4 2 2  y x 的左、右焦点?? （Ⅰ）若 ? 是该椭圆上的一个动点，求 12 PF PF 的最大值和最小值?? （Ⅱ）设过定点 ??????的直线 ? 与椭圆交于不同的两点 ? 、? ，且∠???为锐角（其中 ? 为坐标原点），求 直线 ? 的斜率 ? 的取值范围?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 例 ??（最值问题）设椭圆 M：x 2 a2＋ y2 2 ＝1(a 2)的右焦点为 F1，直线 l：x＝ a2 a2－2与 x 轴交于点 A，若OF1 → ＋2AF1 → ＝0(其中 O 为坐标原点)． (1)求椭圆 M 的方程； (2)设 P 是椭圆 M 上的任意一点， EF 为圆 N： x2＋(y－2)2＝1 的任意一条直径(E， F 为直径的两个端点)， 求PE → ·PF → 的最大值． ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 第 5 页 共 7 页 ? ? ? 例 6． （定点定值问题）已知椭圆C： 1 2 2 2 2  b y a x （ 0 ba ）经过) 1,1 (与         2 3 , 2 6 两点，过原点 的直线l与椭圆C交于A、B两点，椭圆C上一点M满足||||MBMA ． （1）求椭圆C的方程； （2）求证： 222|| 2 || 1 || 1 OMOBOA 为定值． ? ? O A B M x y 第 6 页 共 7 页 三、综合强化 ?? 已知椭圆 22 22 :1 (0) xy Cab ab  的一个焦点为(1,0)F，点 2 ( 1,) 2 在椭圆C上，点T满足 2 22 a OTOF ab   （其中O为坐标原点） ，过点F作一直线交椭圆于P、Q两点 . (1)求椭圆C的方程； (2)求PQT面积的最大值；? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? 已知椭圆 22 1 42 xy  的两焦点分别为 12 FF、 ，P是椭圆在第一象限内的一点，并满足 12 1PF PF ， 过P作倾斜角互补的两条直线PA PB、 分别交椭圆于A B、 两点??? （1）求P点坐标 ；? （2）当直线PA经过点(1 2) ， 时，求直线AB的方程；? （3）求证直线AB的斜率为定值?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 第 7 页 共 7 页 ? ?? 椭圆 )0( 1: 2 2 2 2 ba b y a x C 的左、右焦点分别是 1 F， 2 F ，过 1 F的直线l与椭圆C 相交于 A，B 两点，且 2 AF ，AB， 2 BF 成等差数列． (1）求证：aAB 3 4  ；(2）若直线l的斜率为 1，且点) 1, 0( 在椭圆C上，求椭圆C的方程． ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? 椭圆的中心为坐标原点，右焦点为，且椭圆过点. 若的三个顶点都在 椭圆上，设三条边的中点分别为PNM、、. （1）求椭圆的方程；