圆锥曲线中的焦点三角形

. . . . . 学习.资料. 焦点三角形 焦点三角形问题是重要考点， 考到的容有： 椭圆或双曲线定义和正余弦定理以及面积公式等。 常与曲线的离心率相结合，注意平面几何知识的应用。 一：椭圆的焦点三角形 椭圆的焦点三角形是指以椭圆的两个焦点 12 ,F F与椭圆上任意一点P为顶点组成的三角形。 )0( 1 2 2 2 2 ba b y a x 性质有： （1） 12 |||| 2PFPFa （2） 222 121212 4||||2||||coscPFPFPFPFF PF （3）椭圆上的点与两焦点连线的夹角以椭圆短轴顶点与两焦点连线的夹角最大. 证明：设 P 是椭圆 22 22 1 xy ab  （0ab，c为半焦距）上的一点，O 为原点，E、F 是 椭圆的两焦点，PEm，PFn 则 222222 2 44222 cos11 22 mncbmnbb EPF mnmnmna    ，由余弦函数图象性质知 EPF 有最大值，当且仅当 P 在短轴端点时取到该最大值。 （4）设P为椭圆上的任意一点，角 12 FF P ， 21 F FP ， 21 F PF ，则有离心 率 sin() sinsin e      ， 1 2 2 sin 1cos PF F Sb      2=b tan 2  证明：由正弦定理得： sinsin)180sin( 1221 PFPFFF o   由等比定理得： sinsin)sin( 2121     PFPFFF 而 )sin( 2 )sin( 21    c FF ， sinsin 2 sinsin 21     a PFPF ∴   sinsin )sin(    a c e 。 例题： 1 、 椭 圆 22 22 1( ,0) xy a b ab  的 两 个 焦 点 12 ,F F ， 点P在 椭 圆 上 ， 且 1212 414 ,||,|| 33 PFPFPFPF .求椭圆的方程 22 1 94 xy  . . . . . 学习.资料. 2、设 P 为椭圆1 2 2 2 2  b y a x )0(ba上一点，F1、F2为焦点，如果  75 21 FPF，  15 12 FPF，则椭圆的离心率为( ) A． 2 2 B． 2 3 C． 3 2 D． 3 6 3、 1 F、 2 F是椭圆 1 79 22  yx 的两个焦点，A为椭圆上一点，且∠ 0 21 45FAF ，则 12 AFF 的面积为（ ） A．7 B． 4 7 C． 2 7 D． 2 57 4、 1 F、 2 F是椭圆 22 1 2516 xy  的两个焦点，A为椭圆上一点，且 12 90 ,F AF ，则A到 x轴的距离为 A． 16 3 B． 16 5 C． 1616 35 or D．非上述答案 5、设 21 FF， 分别是椭圆 1 1625 22  yx 的左、右焦点，P为椭圆上一点， 12 ,FF P， 是直角 三角形的一个顶点，则P点到x轴的距离是 A. 16 3 B. 16 5 C. 1616 53 或 D. 非上述答案 6、设 21 FF， 分别是椭圆 22 1 259 xy  的左、右焦点，P为椭圆上一点， 12 ,FF P， 是是直 角三角形的三个顶点，则P点到x轴的距离是 A. 9 4 B. 9 5 C. 99 54 或 D. 非上述答案 7、过椭圆左焦点F，倾斜角为 3  的直线交椭圆于A，B两点，若FBFA2，则椭圆的 离心率为 （构造焦点三角形，两次应用余弦定理，整体处理余弦定理的结果） 8、已知Rt ABC  ， 1,ABAC 点C为椭圆 22 22 1(0) xy ab ab  的右焦点，且AB为 经过椭圆左焦点的弦，求椭圆的离心率。 9、已知椭圆 22 22 1(0) xy ab ab  的左、右焦点分别为 12 (,0),( ,0)FcF c ，若椭圆上存在 一点P使 1221 sinsin ac PFFPF F   ，则该椭圆的离心率的取值围为( ) A. ) 1 , 12( B. ) 1 , 13( C. ) 1 ,23( D. ) 1 , 2 2 ( 二：双曲线的焦点三角形 双曲线的焦点三角形是指以双曲线的两个焦点 12 ,F F 与双曲线上任意一点P为顶点组成的 . . . . . 学习.资料. 三角形。 22 22 1(0,0) xy ab ab  性质有： （1） 12 |||| 2PFPFa （2） 222 121212 4||||2||||coscPFPFPFPFF PF （3）设P为椭圆上的任意一点，角 12 FF P， 21 F FP， 21 F PF，则 有离心率 sin() sinsin e      ()， 1 2 2 sin 1 cos PF F Sb      2 = tan 2 b  （4） 例题： 1 、 设P为 双 曲 线 2 21 12 y x  上 的 一 点 ， 12 F F， 是 该 双 曲 线 的 两 个 焦 点 ， 若 12 ||:|| 3:2PFPF  ，则 12 PFF△ 的面积为（ ） A．6 3 B．12 C．12 3 D．24 2、已知 12 ,F F 为双曲线 22:2C xy 的左右焦点，点P在C上， 12 || 2||PFPF ，则 12 cosFPF A． 1 4 B． 3 5 C． 3 4 D． 4 5 3、双曲线 2 21 2 y x  的焦点为 1 F、 2 F，点 M 在双曲线上且 12 0MF MF ，则点M到x 轴的距离为（ ） A. 4 3 B. 5 3 C. 3 D. 2 3 3 4、已知 1 F、 2 F为双曲线 C: 221xy 的左、右焦点，点 P 在 C 上，∠ 1 FP 2 F= 060 ，则 P到 x 轴的距离为 (A) 3 2 (B) 6 2 (C) 3 (D) 6 5、设 F1，F2分别是双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab  的左、右焦点，若双曲线右支上存在 一点 P，使 22 ()0OPOFF P ，O 为坐标原点，且 12 ||3 ||PFPF ，则该双曲线的离 心率为 A． 31 B． 31 2  C． 62 D． 62 2  . . . . . 学习.资料. 6、 设点 P 是双曲线 22 22 1(,0) xy ab a