圆锥曲线之轨迹问题

- 1 - 圆锥曲线之轨迹问题 一、单选题 1.在平面内， 设 A， B 为两个不同的定点， 动点 P 满足：=K2（k 为实常数） ， 则动点 P 的轨迹为 （ ） A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 不确定 2.已知直线与平面 平行，P 是直线 上的一定点，平面 内的动点 B 满足：PB 与直线 成。那么 B 点 轨迹是 ( ) A. 椭圆 B. 双曲线 C. 抛物线 D. 两直线 3.如图，正方体 ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为 1，点 M 在棱 AB 上，且 AM=， 点 P 是平面 ABCD 上的动点， 且动点 P 到直线 A1D1的距离与点 P 到点 M 的距离的平方差为 1，则动点 P 的轨迹是（ ） A. 圆 B. 抛物线 C. 双曲线 D. 直线 4.已知定点 ， ，如果动点 满足 ，则点 的轨迹所包围的图形面积等 于（ ） A. B. C. D. 5.平面内，到两定点 、 的距离之差的绝对值等于 的点 的轨迹是（ ） A. 椭圆 B. 线段 C. 双曲线 D. 两条射线 二、填空题 6.抛物线 y=ax2的焦点为 F（0，1），P 为该抛物线上的动点，则 a= ________ ；线段 FP 中点 M 的轨迹 方程为________ 7.已知 F 是抛物线 y2=4x 上的焦点，P 是抛物线上的一个动点，若动点 M 满足=2， 则 M 的轨迹方 程是________ 8.已知双曲线 E 的中心为原点，F（3，0）是 E 的焦点，过 F 的直线 l 与 E 相交于 A，B 两点，且 AB 的中点 为 N（﹣12，﹣15），则 E 的方程式为 ________． 9.已知点 P 是椭圆 C：+y2=1 上的动点，一定点 Q（1，0）．有 3 个点 P 使得|PQ|=2 成立；当点 P 运 动时，线段 PQ 中点 M 的轨迹方程为________ 三、综合题 - 2 - 10.（2012•江西）已知三点 O（0，0），A（﹣2，1），B（2，1），曲线 C 上任意一点 M（x，y）满足| + |= •（ + ）+2． （1）求曲线 C 的方程； （2）动点 Q（x0 ， y0）（﹣2＜x0＜2）在曲线 C 上，曲线 C 在点 Q 处的切线为直线 l：是否存在定点 P （0，t）（t＜0），使得 l 与 PA，PB 都相交，交点分别为 D，E，且△QAB 与△PDE 的面积之比是常数？若 存在，求 t 的值．若不存在，说明理由． 11.如图，椭圆 x2+ =1 的左、右顶点分别为 A、B，双曲线 Γ 以 A、B 为顶点，焦距为 2 ，点 P 是 Γ 上在第一象限内的动点，直线 AP 与椭圆相交于另一点 Q，线段 AQ 的中点为 M，记直线 AP 的斜率为 k，O 为坐标原点． （1）求双曲线 Γ 的方程； （2）求点 M 的纵坐标 yM的取值范围； （3）是否存在定直线 l，使得直线 BP 与直线 OM 关于直线 l 对称？若存在， 求直线 l 方程，若不存在，请说明理由． - 3 - 答案解析部分 一、单选题 1.【答案】A 【考点】圆锥曲线的轨迹问题 【解析】【解答】解：设 A（﹣c，0），B（c，0）（c＞0），P（x，y）． 则=（﹣c﹣x，﹣y），=（c﹣x，﹣y）． ∵满足：=K2（k 为实常数）， ∴（﹣c﹣x，﹣y）•（c﹣x，﹣y）=k2 ， 化为 x2﹣c2+y2=k2 ， 即 x2+y2=c2+k2 故动点 P 的轨迹是原点为圆心，以为半径的圆． 故选：A． 【分析】利用平面的数量积运算即可得出轨迹方程． 2.【答案】B 【考点】圆锥曲线的共同特征，圆锥曲线的轨迹问题 【解析】【解答】由题意画图如下， P 是直线 l 上的定点，有一平面 α 与直线 l 平行，平面 α 内的动点 B 满足 PB 的连线与 l 成 30°角，因为空间 中过 P 与 l 成 60°角的直线组成两个相对顶点的圆锥，α 即为平行于圆锥轴的平面，点 B 可理解为是截面 α 与圆锥侧面的交点，所以点 B 的轨迹为双曲线．故选 B． 3.【答案】B 【考点】圆锥曲线的轨迹问题 【解析】【解答】解：如图所示：正方体 ABCD﹣A1B1C1D1中， 作 PQ⊥AD，Q 为垂足，则 PQ⊥面 ADD1A1 ， 过点 Q 作 QR⊥D1A1 ， 则 D1A1⊥面 PQR， PR 即为点 P 到直线 A1D1的距离， 由题意可得 PR2﹣PQ2=RQ2=1． 又已知 PR2﹣PM2=1， ∴PM=PQ， 即 P 到点 M 的距离等于 P 到 AD 的距离， - 4 - 根据抛物线的定义可得，点 P 的轨迹是抛物线， 故选 B． 【分析】 作 PQ⊥AD，作 QR⊥D1A1 ， PR 即为点 P 到直线 A1D1的距离，由勾股定理得 PR2﹣PQ2=RQ2=1， 又已知 PR2﹣PM2=1，故 PQ=PM，即 P 到点 M 的距离等于 P 到 AD 的距离． 4.【答案】A 【考点】圆锥曲线的轨迹问题 【解析】【解答】 设 ， 则由 得 ， 化简得 ，即 ，所以所求图形的面积 ， 故答案为：A. 【分析】根据题意结合已知条件可得出点的轨迹方程为圆求出圆的标准方程，再结合圆的面积公式即可求 出结果。 5.【答案】D 【考点】圆锥曲线的轨迹问题 【解析】 【解答】由题意可知 ， ， ，因此点 的轨迹是两条射线，故 D 符合题意.故答案为：D . 【分析】根据题意可得：=6=. 二、填空题 6.【答案】；x2﹣2y+1=0 【考点】圆锥曲线的轨迹问题 【解析】【解答】解：抛物线 y=ax2即 x2=y，根据它的焦点为 F（0，1）可得 2p==4， ∴a=， 设 M（x，y），P（m，n），则 m=2x，n=2y﹣1， ∵P 为抛物线上的动点， ∴2y﹣1=×4x2 ， 即 x2﹣2y+1=0 - 5 - 故答案为：；x2﹣2y+1=0． 【分析】由题意可得可得 2p==4，由此求得 a 的值；设 M（x，y），P（m，n），则 m=2x，n=2y﹣1， 利用 P 为抛物线上的动点，代入抛物线方程，即可得出结论． 7.【答案】y2=2x﹣1 【考点】圆锥曲线的轨迹问题 【解析】【解答】解：设 M 的坐标为（x，y），P 的坐标为（t2 ， t） ∵抛物线 y2=4x 中，2p=4，可得=1，∴抛物线的焦点为 F（1，0）．