圆锥曲线的焦半径(角度式)

圆锥曲线的焦半径——角度式 一 椭圆的焦半径 设P是椭圆 22 22 1 xy ab （0ab）上任意一点，F为它的一个焦点，则 PFO，则 2 cos b PF ac   上述公式定义PFO，P是椭圆上的点，F是焦点，O为原点，主要优 点是焦点在左右上下均适用，无需再单独讨论 证明：设PFm，另一个焦点为 F ，则PFFFFP 两边平方得： 222 2PFFFFFFPFP 即： 222(2)44cosamccmm 得： 2 cos b PF ac   1 过椭圆 22 1 43 xy 的右焦点F任作一直线交椭圆于A、B两点， 若AFBF AF BF，则的值为 2 （2002 全国理）设椭圆 22 22 1 xy ab （0ab）的一个焦点F，过F作一条直 线交椭圆于P、Q两点，求证： 11 PFQF 为定值，并求这个定值 结论：椭圆的焦点弦所在的焦半径的倒数和为定值，即 2 112a AFBFb  精选文库 — 2 3 （2007 重庆理） 在椭圆 22 22 1 xy ab （0ab） 上任取三个不同的点 1 P， 2 P， 3 P， 使 122223321 PF PP F PPF P  ， 2 F为右焦点，证明 122232 111 PFP FPF 为定值， 并求此定值 结论：若过F作n条夹角相等的射线交椭圆于 1 P， 2 P，， n P，则 2 12 111 n na PFP FP Fb  4 F是椭圆 2 21 2 x y的右焦点， 由F引出两条相互垂直的直线a，b， 直线a与 椭圆交于点A、C，直线b与椭圆交于B、D，若 1 FAr， 2 FBr， 3 FCr， 4 FDr，则下列结论一定成立的是（ ） A 1234 3 2rrrr B 1234 4 2rrrr C 1234 1111 3 2 rrrr  D 1234 1111 4 2 rrrr  5 F是椭圆 22 1 43 xy 的右焦点， 过点F作一条与坐标轴不垂直的直线交椭圆于 A、B，线段AB的中垂线l交x轴于点M，则 AB FM 的值为 6（2010 辽宁理）设椭圆C： 22 22 1 xy ab （0ab）的左焦点为F，过点F的 直线与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为 60°，2AFFB 精选文库 — 3 （1） 求椭圆C的离心率 （2） 如果 15 4 AB ，求椭圆C的方程 7（2010 全国Ⅱ理）已知椭圆C： 22 22 1 xy ab 的离心率为 3 2 ，过右焦点F且斜 率为k（0k ）的直线与C相交于A，B两点，若3AFFB，则k （ ） A 1 B 2 C 3 D 2 8 已知椭圆C： 22 22 1 xy ab （0ab）的右焦点为F，过点F的直线与椭圆C 相交于A，B两点，若2BFAF，则椭圆的离心率e的取值范围是（ ） A 1 0, 2     B 2 0, 2     C 1 ,1 2     D 1 ,1 3    9（2007全国Ⅰ理）已知椭圆 22 1 32 xy 的左右焦点分别为 1 F， 2 F，过 1 F的直线 交椭圆于B，D两点，过 2 F的直线交椭圆于A，C两点，且ACBD，求四边 形ABCD的面积的最小值 10（2005 全国卷Ⅱ理）P，Q，M，N四点都在椭圆 2 21 2 y x 上，F为椭圆 在y轴正半轴上的焦点，已知PF与FQ共线，MF与FN共线，且0PF MF， 精选文库 — 4 求四边形PQMN面积的最大值和最小值 11 已知过椭圆 22 1 259 xy 左焦点 1 F的弦（非长轴）交椭圆于A，B两点， 2 F为 右焦点，求使 2 F AB的面积最大时直线AB的方程 二 双曲线的焦半径 设P是椭圆 22 22 1 xy ab （0a ，0b ）上任意一点，F为它的一个焦点， 则PFO，则 2 cos b PF ca   式中“”记忆规律，同正异负，即当P与F位于轴的同侧时取正，否则取 负，取PFO，无需讨论焦点位置，上式公式均适用 1（2009 全国Ⅱ理）已知双曲线C： 22 22 1 xy ab （0a ，0b ）的右焦点为F， 过F且斜率为3的直线交C于A，B两点， 若4AFFB， 则C的离心率为 （ ） A 6 5 B 7 5 C 5 8 D 9 5 2 （2007 重庆理）过双曲线 224xy的右焦点F作倾斜角为 105°的直线交双 曲线于P、Q两点，则FPFQ的值为 精选文库 — 5 三 抛物线的焦半径 已知A是抛物线C： 22ypx（0p ）上任意一点，F为焦点，AFO， 则 1 cos p AF    证明：PN为准线，于是AFAN，其中PFp，cosFMAF 于是cosANPFFMPAF 所以cosAFPAF 故 1 cos p AF    1 过抛物线 22yx的焦点F作直线交抛物线于A，B两点，若 11 1 AFBF ， 则直线l的倾斜角（0 2  ）等于（ ） A 2  B 3  C 4  D 6  2（2008 江西）过抛物线 22xpy（0p ）的焦点F作倾斜角为 30°的直线与 抛物线分别交于A，B两点（点A在y轴左侧） ，则 AF FB  3（2008 全国理）已知F为抛物线C： 24yx的焦点，过F且斜率为 1 的直线 与抛物线C交于A，B两点，设FAFB，则FA与FB的比值等于 4（2010 重庆理）已知以F为焦点的抛物线 24yx上的两点A，B满足 3AFFB,，则弦AB的中点到准线的距离为 精选文库 — 6 5 已知抛物线 24yx， 准线与x轴交于E点， 过点E的直线(1)yk x交抛物线 于A，B两点，F是焦点，且满足 060AFB，求AB 6 已知F为抛物线C： 24yx的焦点，过F作两条互相垂直的直线 1 l， 2 l，直线 1 l与C交于A，B两点，直线 2 l与C交于D，E两点，则ABDE的最小值为 7 抛物线 1 C： 22ypx和圆 2 C： 2 22() 24 pp xy，直线l经过 1 C的焦点，与 1 C 交于A、D，与 2 C交于B、C，则AB CD的值为（ ） A 2 4 p B 2 3 p C 2 2 p D 2p