圆锥曲线第一问求轨迹方程-有答案
第 1 页,共 13 页 圆锥曲线第一问求轨迹方程 一、解答题(本大题共 19 小题,共 228.0 分) 1. 已知圆 C: ,点 , , 是圆 C 上任意一点,线段 AP 的垂直平分线交 CP 于点 Q,当点 P 在圆上运动时,点 Q的轨迹为曲线 E. 求曲线 E 的方程; 若直线 l: 与曲线 E相交于 , 两点,O为坐标原点,求 面积的最大值. 2. 已知圆 A: 和定点 , , 是圆 A 上任意一点, 线段 MB 的垂直平分线交 MA于点 N, 设点 N的轨迹为 C. Ⅰ 求 C的方程; Ⅱ 若直线 与曲线 C 相交于 , 两点,试问:在 x轴上是否存在定点 R,使当 k变化时,总有 ?若存在,求出点 R的坐标;若不存在,请说明理由. 3. 已知平面上的动点 , 及两定点 , , , ,直线 , 的斜率分别是 , 且 . 求动点 P 的轨迹 C的方程; 设直线 l: 与曲线 C交于不同的两点 , . 若 为坐标原点 ,证明点 O到直线 l的距离为定值,并求出这个定值 若直线 , 的斜率都存在并满足 ,证明直线 l过定点,并求出这个定点. 4. 设 P 是圆 上的动点,点 D是 P 在 x 轴上投影,M 为线段 PD 上一点,且 . 当 P 在圆上运动时,求点 M 的轨迹 C的方程; 过点 , 且斜率为 的直线交轨迹 C 于 , 两点,若点 , , 求的面积. 5. 已知点 M与点 , 的距离比它的直线 l: 的距离小 2. 求点 M 的轨迹方程; , 是点 M 轨迹上互相垂直的两条弦,问:直线 AB 是否经过 x 轴上一定点,若经过,求出该点坐标; 若不经过,说明理由. 第 2 页,共 13 页 6. 已知动点 P与双曲线 的两焦点 , 的距离之和为大于 4的定值,且 的最大值为 9. 求动点 P 的轨迹 E的方程; 若 , 是曲线 E上相异两点,点 , 满足 ,求实数 的取值范围. 7. 在四边形 ABCD中,已知 , , , 点 B 在 x 轴上 ,且对角线 . 求点 C的轨迹 T 的方程; 若点 P是直线 一 5 上任意一点,过点 p作点 C的轨迹 T的两切线 PE、PF、E、F为切点 为 EF的 中点 求证: 轴或 PM 与 y轴重合: 在 的条件下,直线 EF 是否恒过一定点?若是,请求出这个定点的坐标;若不是 请说明理由. 8. 如图,已知点 , ,直线 m: , 为平面上的动点,过点 P作 m 的 垂线,垂足为点 Q,且 . 求动点 P 的轨迹 C的方程; 文 过轨迹C的准线与y轴的交点M作方向向量为 , 的直线 与 轨迹 C交于不同两点 A、B,问是否存在实数 a使得 ?若存在,求出 a 的范围;若不存在,请说明理由; 文 在问题 中, 设线段AB的垂直平分线与y轴的交点为 , , 求 的 取值范围. 9. 已知点 , 、 , ,若动点 P满足 . 求动点 P 的轨迹 C; 在曲线 C 上是否存在点 Q,使得 的面积 ?若存在,求点 Q的坐标,若不存在,说明理由. 10. 已知动点 P与平面上两定点 , , , 连线的斜率的积为定值 . 试求动点 P的轨迹方程 C. 设直线 l: 与曲线 C交于 M、N 两点,求 第 3 页,共 13 页 11. 已知 , , , ,点 C、D依次满足 , .? 求点 D的轨迹;? 过点 A作直线 l交以 A、B为焦点的椭圆于 M、N两点,线段 MN的中点到 y轴的距离为 ,且直线 l与点 D 的轨迹相切,求该椭圆的方程;? 在 的条件下,设点 Q的坐标为 , ,是否存在椭圆上的点 P 及以 Q 为圆心的一个圆,使得该圆与直线 , 都相切,如存在,求出 P点坐标及圆的方程,如不存在,请说明理由. 12. 定长为 3的线段 AB的两个端点 A、B分别在 x轴、y轴上滑动,动点 P 满足 .? Ⅰ 求点 P 的轨迹曲线 C的方程;? Ⅱ 若过点 , 的直线与曲线 C交于 M、N 两点,求 的最大值. 13. 在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 , , , ,动点 C 满足: 的周长为 ,记动点 C的 轨迹为曲线 W.? Ⅰ 求 W的方程;? Ⅱ 曲线 W上是否存在这样的点 P: 它到直线 的距离恰好等于它到点 B的距离?若存在, 求出点 P的坐 标;若不存在,请说明理由;? Ⅲ 设 E曲线 W上的一动点, , , ,求 E 和 M 两点之间的最大距离. 14. 设 , 为抛物线 C: 上的两个动点, 过 , 分别作抛物线 C 的切线 , , 与 x 轴分别交于 , 两点, 且 , .? Ⅰ 求点 P 的轨迹方程? Ⅱ 求证: 的面积为一个定值,并求出这个定值. 15. 已知定点 , , 分别为x轴、 y轴上的动点 、 N不重合 , 且 , 点P在直线MN上, .? 求动点 P 的轨迹 C的方程;? 设点 Q是曲线 上任一点,试探究在轨迹 C上是否存在点 T?使得点 T到点 Q的距离 最小,若存在,求出该最小距离和点 T的坐标,若不存在,说明理由. 第 4 页,共 13 页 16. 已知定点 , , 是圆 C: 为圆心 上的动点, SG的垂直平分线与 SC 交于点 设点 E 的轨迹为 M. 求 M的方程; 是否存在斜率为 1的直线 l,使得直线 l与曲线 M 相交于 , 两点,且以 AB为直径的圆恰好经过原点?若 存在,求出直线 l的方程;若不存在,请说明理由. 17. 设点 , 到直线 的距离与它到定点 , 的距离之比为 ,并记点 P 的轨迹为曲线 C. Ⅰ 求曲线 C的方程; Ⅱ 设 , 的,过点 M 的直线 l与曲线 C 相交于 , 两点,当线段 EF 的中点落在由四点 , , , , , , , 构成的四边形内 不包括边界 时,求直线 l斜率的取值范围. 18. 在 中, , 、 , , 、AC边上的中线长之和为 9. Ⅰ 求 重心 G的轨迹方程 Ⅱ 设 P为 中所求轨迹上任意一点,求 的最小值. 19. 在平面直角坐标系 xOy 中,已知曲线 C 上任意一点到点 , 的距离与到直线 的距离相等. Ⅰ 求曲线 C的方程; Ⅱ 设 , , , 是 x轴上的两点 , ,过点 , 分别作 x 轴的垂线, 与曲线 C分别交于点 , , 直线 与x轴交于点 , , 这样就称 , 确定了 同样, 可由 , 确 定了 现已知 , ,求 的值. 第 5 页,共 13 页 答案和解析 【答案】 1. 解: Ⅰ 点 Q在线段 AP的垂直平分线上, . 又 , . 曲线 E是以坐标原点为中心, , 和 , 为焦点,长轴长为 的椭圆. 设曲线 E 的方程为 , . , , . 曲线 E的方程为 . Ⅱ 设 , , , 联立 消去 y,得 . 此时有 . 由一元二次方程根与系数的关系,得 , , 原点 O