培优专题平移与旋转-含解答-改后教学提纲
精品文档 培优专题培优专题 5 5 平移与旋转平移与旋转 平移是几何变换中最常用的变换之一，用它可以将一些不在同一三角形中要证的 两条线段或两角，进行“搬家” ，把它们搬到同一个三角形（或平行四边形）中，再利用 图形的性质与题设条件，找到解（或比）的途径．平移法能把分散的条件集中起来，收到 事半功倍的效果． 旋转也是几何变换中较常用的变换之一，在解决问题中主要应用在以下两个方面：一 是在题设条件和结论间联系不易沟通或条件不易集中利用的情形下， 通过旋转起到铺路架 桥作用；二是图形错综复杂，但图形中的量与量之间的关系多，这时也可以看能否使用旋 转的办法，移动部分图形，使题目中隐蔽着的关系明朗起来，从而找到解题途径． 平移、 旋转两种变换在使用中， 一定要善于观察变换前后哪些量变了， 哪些量没变． 只 有这样，我们才能充分发挥两种变换的功能，达到有效解决相关问题的目的． 例例 1 1如图，在△ABC 中，D、E 是 BC 边上两点，BD=CE，试 说明 AB+ACAD+AE． 分析分析 利用平移变换，• 将图中已知条件转化为梯形的对角 线之和大于两腰之和． 练习练习 1 1 1．如图，梯形 ABCD 中，AD∥BC，已知 AD+BC=3，AC= 3， BD= 6，求此梯形的面积． 2．如图，长方形花园 ABCD 中，AB=a，AD=b，花园中建有一条长方形道路 LMPQ• 及一 条平行四边形道路 RSTK，若 LM=RS=c，求花园中可绿化部分的面积． 3．如图，△ABC 中，E、F 分别为 AB、AC 边上的点，且 BE=CF，试说明 EF0， 请问，六边形 ABCDEF 的六个角是否都相等． 例例 3 3如图，在正方形ABCD 的边 BC 和 CD 上分别取点 M 和点 K，并 且∠BAM=∠MAK． 求证：BM+KD=KA． 分析分析 把 Rt△BAM 绕点 A 顺时针旋转 90°到△ADM′，使 BM 与 DN 拼 成一条线段的 KM′，只要证明 KM′=KA 即可． 练习练习 3 3 1．如图，在正方形 ABCD 中，N 是 DC 的中点，M 是 AD 上异于 D• 的 精品文档 精品文档 点，• 且∠NMB=∠MBC，求 AM 的值． AB 2．如图，P 是等边△ABC 内一点，∠APB、∠BPC、∠CPA 的大小之比为 5：6：7，• 求 以 PA、PB、PC 之比为边的三角形三内角之比（从小到大） ． 3．如图，在四边形ABCD 中，AB=AD，∠BAD=∠BCD=90°，AH⊥BC，且AH=1，• 求四边 形 ABCD 的面积． 例例 4 4如图，在等腰三角形ABC 中，∠CAB=90°，P 是△ABC 内一点，且PA=1，PB=3， PC= 7，求∠APC 的度数． 分析分析 本题将△BAP 绕点 A 旋转 90°，得到△CAQ，构造直 角三角形，利用勾股定理求解 练习练习 4 4 1．等边三角形内一点到三个顶点距离分别为 3、4、5，则 此等边三角形边长的平方为________． 2．如图，P 是正方形内的点，若 PA=1，PB=2，PC=3，求∠APB 的度数． 3．如图，正方形 ABCD 的边长为 1，AB、AD 各有一点 P、Q，若△APQ 的周长为 2，• 求∠PCQ． 精品文档 精品文档 例例 5 5如图，在△ABC 中，AB=3，AC=2，以 BC 为边 的三角形 BPC 是等边三角形，求 AP 的最大、最小值． 分析分析 通过旋转把AP转移到有两条边确定的三角形 中，利用三角形的性质求最值． 解：把△ABP 绕 B 点顺时针旋转 60°得△DBC，则 △ABP≌△DBC． ∴DC=AP，BD=BA，∠DBA=60°． ∴△ABD 是等边三角形，AD=AB=3． 在△ACD 中，有DCAD-AC=1 时，当C 在 DA 线段上时才有 DC=AD-AC=1，说明DC≥1，• 即 AP≥1．……② 由①②得 AP 最大值为 5，最小值为 1． 练习练习 5 5 1．如图，正方形 ABCD 中，有一个内接三角形 AEF，若∠EAF=45°，AB=8，EF=7，• 求△EFC 的面积． 2．如图，在△ABC 中，AB=5，AC=13，过 BC 上的中线 AD=6，求 BC 的长． 3．如图，已知△ ABC 中，AB=AC，D 为三角形内一点，∠ADB∠ADC．试证明： •CDBD ． 精品文档 精品文档 答案答案: : 练习练习 1 1 1．解：将 BD 平移到 CE 交 AD 延长线于点 E， 则四边形 BDEC 为平行四边形 ∴DE=BC，CE=BD，S△BCD=S△CDE ∵△ABC 与△DBC 同底等高， ∴S△ABC = S△BCD = S△CDE ∵S 梯形ABCD= S△ABC + S△ACD = S△CDE + S△ACD = S△ACE． 又 AE=AD+DE=3=36 AC2CE2， ∴△ACE 为直角三角形，∠ACE=90°． ∴S 梯形ABCD= S△ACE = 13 ·AC·CE= 22 2． 2．解：把长方形和平行四边形道路平移，在移动过程中道路面积不变，如图，则四 块空白可组成长（b-c） ，宽（a-c）的空白长方形，其面积为（ b-c） （a-c）=ab-bc-ac+c2． 3．解：将 EF 平移为 BG，BF 平移为 FG，作∠CFG 的角平分线交 BC 于 D，连结 DG，• 则由平移知四边形 BEFG 是平行四边形． ∴EF=BG，BE=FG． ∵BE=CF，∴FG=CF． ∵∠1=∠2，FD=FD． ∴△FGD≌△FCD（SAS） ． ∴DG=CD．在△BGD 中， ∵BG∠3，∴CEBD． 精品文档 2
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